2026届成都市高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）-a1

第页2026届成都市高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校班级姓名考号________________________________________________________________考试时间：120分钟满分：150分适用对象：2026届高三高考二模综合检测注意事项1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写清楚。2．选择题每题只有一个正确答案；填空题只需写出最后结果；解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。3．全卷共三大题，22小题。选择题10题共30分，填空题6题共18分，解答题6题共102分，合计150分。4．本卷用于高考二模前阶段性综合检测，重点考查主干知识、综合运算、逻辑推理与规范表达。题型题量每题分值合计一、选择题10题3分30分二、填空题6题3分18分三、解答题6题17分102分一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设集合A={x∈Z｜x²−3x−4<0}，B={x｜x=2k，k∈Z，−1≤x≤5}，则A∩B=A．{1，3}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{−1，0，2}2．复数z=(1+2i)/(1−i)，则Rez+Imz的值为A．−1B．0C．1D．23．已知向量a=(2，−1)，b=(1，m)，若|a+b|²=20且m>0，则m=A．1+√11B．1−√11C．√11−1D．2√5−14．若α∈(0，π/2)，且sin(α+π/6)=√3/2，则tan2α=A．1B．√3C．−√3D．05．一个盒中有5个红球、3个蓝球，任取2个球，取到的两个球颜色相同的概率为A．5/14B．13/28C．15/28D．3/76．等差数列{a_n}满足a₁=2，S₄=20；等比数列{b_n}满足b₁=3，b₂+b₃=18，公比q>0，则a₅+b₃=A．18B．20C．22D．247．函数f(x)=lnx−x+1（x>0）的零点个数为A．0B．1C．2D．38．椭圆x²/9+y²/5=1的离心率为A．1/3B．2/3C．√5/3D．√14/39．在棱长为2的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，点A₁到平面BDC₁的距离为A．2/√3B．4/√3C．√3D．210．关于x的方程x³−3x+a=0有三个不同实根，则实数a的取值范围为A．a<−2B．−2<a<2C．a>2D．a≤−2或a≥2二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在题中横线上。11．二项式(2x−1/x)⁶的展开式中常数项为________。12．若实数x，y满足x+y≥4，x≥1，y≥0，x+2y≤8，则z=2x+y的最小值为________。13．已知x∈(π，3π/2)，且sinx+cosx=1/2，则sinxcosx=________。14．随机变量X服从二项分布B(4，p)，且E(X)=1.2，则P(X=2)=________。15．抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上且PF=3，则点P的纵坐标平方y²=________。16．若函数f(x)=eˣ−ax在区间[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________。三、解答题：本大题共6小题，每小题17分，共102分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a²=b²+c²−bc，且b=2c。

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积为4√3，求a，b，c；

（3）若点D在BC上，BD:DC=1:2，求AD的长。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18．（17分）如图意，在棱长为2的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，规定A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，A₁(0，0，2)，其余顶点按正方体确定。

（1）证明AC₁⊥平面A₁BD；

（2）求点C到平面A₁BD的距离；

（3）求直线AB与平面A₁BD所成角的正弦值。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19．（17分）某校2026届高三数学二模前进行一次阶段检测，随机抽取80名学生的数学成绩，按10分为组得到如下频数分布表。

（1）用组中值估计这80名学生成绩的平均数和方差；

（2）把成绩不低于130分的学生记为“高分组”。已知高分组中，[130，140)组有男生10人、女生6人，[140，150]组有男生3人、女生5人。现从高分组中随机抽取1人，求抽到女生的概率；

（3）从高分组中随机抽取2人参加访谈，求至少抽到1名女生的概率。成绩区间[90，100)[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数6101822168作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20．（17分）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_{n+1}=2a_n+2ⁿ（n∈N*）。

（1）设b_n=a_n/2ⁿ，证明{b_n}为等差数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_n，并求满足S_n≥2026的最小正整数n。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21．（17分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为1/2，且点P(√3，3/2)在椭圆C上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M(3，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为N(x，y)，求点N的轨迹方程；

（3）当N在直线x=1上时，求弦AB的长度。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22．（17分）设函数f_a(x)=eˣ−ax−1（x∈R，a∈R）。

（1）当a=2时，求函数f₂(x)的单调区间和极小值；

（2）讨论方程f_a(x)=0在区间[0，+∞)上的零点个数；

（3）当a>1时，记方程f_a(x)=0在(0，+∞)上的唯一根为x_a，证明0<x_a<2(a−1)，并证明x_a随a的增大而增大。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与解析一、选择题答案12345678910BCABBCBBBB1．由x²−3x−4<0得−1<x<4，且x∈Z，所以A={0，1，2，3}；B={0，2，4}，故A∩B={0，2}。选B。2．z=(1+2i)/(1−i)=((1+2i)(1+i))/2=(−1+3i)/2，因此Rez+Imz=−1/2+3/2=1。选C。3．a+b=(3，m−1)，|a+b|²=9+(m−1)²=20，得(m−1)²=11。由m>0，m=1+√11。选A。4．α∈(0，π/2)，α+π/6∈(π/6，2π/3)。sin(α+π/6)=√3/2，故α+π/6=π/3，α=π/6，tan2α=tan(π/3)=√3。选B。5．同色概率为[C(5，2)+C(3，2)]/C(8，2)=(10+3)/28=13/28。选B。6．S₄=4(a₁+a₄)/2=20，a₁=2，得a₄=8，公差d=2，a₅=10。b₂+b₃=3q+3q²=18，q>0，得q=2，b₃=12，故a₅+b₃=22。选C。7．f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1/x−1。函数在(0，1)上增，在(1，+∞)上减，且f(1)=0，为最大值。故只有一个零点。选B。8．椭圆中a²=9，b²=5，c²=a²−b²=4，e=c/a=2/3。选B。9．取坐标B(2，0，0)，D(0，2，0)，C₁(2，2，2)，A₁(0，0，2)。平面BDC₁的方程为x+y−z−2=0，点A₁到该平面的距离为|0+0−2−2|/√3=4/√3。选B。10．令f(x)=x³−3x+a，则f′(x)=3x²−3。极大值f(−1)=a+2，极小值f(1)=a−2。三不同实根需a+2>0且a−2<0，故−2<a<2。选B。二、填空题答案111213141516−1605−3/80.26468[e，+∞)11．通项为C(6，k)(2x)^(6−k)(−x^(−1))^k，指数为6−2k。令6−2k=0，得k=3，常数项为C(6，3)·2³·(−1)³=−160。12．可行域的边界交点中，x=1与x+y=4交于(1，3)，此时z=5；其余顶点的z值均不小于5，故最小值为5。13．(sinx+cosx)²=1+2sinxcosx=1/4，故sinxcosx=−3/8。区间条件保证sinx、cosx均为负，与结果一致。14．由E(X)=4p=1.2，得p=0.3。P(X=2)=C(4，2)(0.3)²(0.7)²=0.2646。15．抛物线y²=4x的焦点为F(1，0)，准线为x=−1。由抛物线定义，PF=x+1=3，得x=2，故y²=4x=8。16．f′(x)=eˣ−a。函数在[0，1]上单调递减需f′(x)≤0对任意x∈[0，1]成立，即a≥maxeˣ=e。三、解答题参考答案与评分标准17．参考答案（1）由余弦定理a²=b²+c²−2bccosA。题中给出a²=b²+c²−bc，故2bccosA=bc。因为b>0，c>0，得cosA=1/2，所以A=60°。（2）由b=2c，且面积Δ=1/2·bc·sinA=1/2·2c²·√3/2=c²√3/2。已知Δ=4√3，得c²=8，c=2√2，b=4√2。再由a²=b²+c²−bc=32+8−16=24，得a=2√6。（3）设BD:DC=1:2。由cevian长度公式，AD²=(2b²+c²)/3−2a²/9=(2·32+8)/3−2·24/9=32/3，因此AD=4√6/3。评分标准：第（1）问5分，其中正确使用余弦定理2分，求出cosA=1/22分，写出A=60°1分；第（2）问6分，其中面积公式2分，求出b、c2分，求出a2分；第（3）问6分，其中正确建立分点长度关系2分，代入公式或等价计算3分，写出AD=4√6/31分。18．参考答案建立题设坐标系，则C₁(2，2，2)，A₁(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)。平面A₁BD中的两个方向向量可取A₁B=(2，0，−2)，A₁D=(0，2，−2)。（1）A₁B×A₁D=(4，4，4)，故平面A₁BD的法向量可取n=(1，1，1)。而AC₁=(2，2，2)=2n，所以AC₁⊥平面A₁BD。（2）平面A₁BD的方程为x+y+z−2=0。点C(2，2，0)到该平面的距离d=|2+2+0−2|/√3=2/√3。（3）直线AB的方向向量为u=(1，0，0)。设直线AB与平面A₁BD所成角为θ，则sinθ=|u·n|/(|u||n|)=1/√3。评分标准：第（1）问6分，其中写出平面方向向量2分，求出法向量2分，说明AC₁与法向量平行并得出垂直结论2分；第（2）问5分，其中平面方程2分，距离公式2分，结果1分；第（3）问6分，其中方向向量1分，夹角正弦公式3分，结果2分。19．参考答案（1）各组组中值依次为95，105，115，125，135，145。估计平均数为x̄=(6·95+10·105+18·115+22·125+16·135+8·145)/80=122。估计方差为s²=[6(95−122)²+10(105−122)²+18(115−122)²+22(125−122)²+16(135−122)²+8(145−122)²]/80=191。（2）高分组共有16+8=24人，其中女生6+5=11人，所以随机抽取1人抽到女生的概率为11/24。（3）高分组男生共有10+3=13人，女生11人。从24人中抽2人，至少1名女生的概率为1−C(13，2)/C(24，2)=1−78/276=33/46。评分标准：第（1）问7分，其中组中值列出或使用正确2分，平均数计算3分，方差计算2分；第（2）问4分，其中确定高分组人数2分，概率结果2分；第（3）问6分，其中使用对立事件或分类计数3分，组合数计算2分，化简结果1分。20．参考答案（1）由a_{n+1}=2a_n+2ⁿ，两边同除以2^{n+1}，得a_{n+1}/2^{n+1}=a_n/2ⁿ+1/2，即b_{n+1}=b_n+1/2。又b₁=a₁/2=1，所以{b_n}是首项为1、公差为1/2的等差数列。（2）b_n=1+(n−1)/2=(n+1)/2，因此a_n=2ⁿb_n=(n+1)2^{n−1}。（3）S_n=Σ_{k=1}^n(k+1)2^{k−1}=Σk2^{k−1}+Σ2^{k−1}。由等比求和或错位相减得Σ_{k=1}^nk2^{k−1}=(n−1)2ⁿ+1，且Σ_{k=1}^n2^{k−1}=2ⁿ−1，故S_n=n2ⁿ。因为7·2⁷=896<2026，8·2⁸=2048≥2026，所以满足S_n≥2026的最小正整数n为8。评分标准：第（1）问5分，其中变形正确3分，说明首项和公差2分；第（2）问4分，其中写出b_n2分，得到a_n2分；第（3）问8分，其中求和公式或错位相减5分，得到S_n=n2ⁿ1分，比较确定最小n2分。21．参考答案（1）由e=c/a=1/2，得c²=a²/4。又b²=a²−c²=3a²/4。点P(√3，3/2)在椭圆上，故3/a²+(9/4)/(3a²/4)=1，即6/a²=1，a²=6，b²=9/2。椭圆方程为x²/6+2y²/9=1。（2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，N(x，y)。两点均在椭圆上，将方程相减得(x₁²−x₂²)/6+2(y₁²−y₂²)/9=0。因为x=(x₁+x₂)/2，y=(y₁+y₂)/2，所以弦AB的斜率满足k_AB=−3x/(4y)（y≠0时）。又M(3，0)、N(x，y)、A、B共线，故k_AB=y/(x−3)。于是y/(x−3)=−3x/(4y)，整理得4y²=3x(3−x)。当y=0时也可由极限或直接检验纳入同一方程。因此点N的轨迹方程为3x²−9x+4y²=0。（3）令x=1，得4y²=6，故y=±√6/2。直线MN