2026年湖南省湘西州高考数学质检试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年湖南省湘西州高考数学质检试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线y25−xA.(±1,0) B.(0,±1) C.(±3,0) D.(0,±3)2.已知集合M={x|(x+1)(x−3)≤0}，N={y|y=x2+2,x∈R}，则M∩N=A.[−1,4] B.[−1,3] C.[−1,+∞) D.[2,3]3.在等差数列{an}中，已知a2=2，aA.2 B.3 C.4 D.64.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=−35,a=2,c=1，则sinC=A.25 B.310 C.155.已知向量a=(4,3),b=(2,4)，若c/​/a，且aA.(2,4) B.(45,35)6.已知cos(α+β)=2sin(α−β),tanβ=−32，则tan2α=A.−4 B.−815 C.8157.已知a，b，c分别为函数f(x)=(x−1)2x−1，g(x)=(x−1)lgx−1，h(x)=(x−1)log2x−1的零点，且a，bA.a<c<b B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b8.过一动点P(8−2m,m)向圆O：x2+y2=4作切线PA，PB，切点分别为A，B，则A.112 B.594 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z0是关于x的方程x2+px+q=0(其中p，q∈R)的根，且z0A.z03=1 B.z02=−z0

C.p+q=210.已知O为坐标原点，M(4,4)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，过C的焦点F的直线交C于A，B两点(不与M点重合)，过A，B分别作C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是(

)A.|AB|的最小值为2

B.|PQ|2=4|AF||BF|

C.直线OA，OB的斜率之和为定值

D.若直线MA与MB的倾斜角互补，则直线11.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)+f(y)−1，且当x>0时，f(x)>1，若f(lnβ)<f(lnα)<f(0)，则下列说法正确的是(

)A.1eα+1α>1eβ+1β

B.sinα+sinβ>β

C.不等式f(x−5x2−2x−3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止.已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为12,12,313.如图，在直三棱柱BCD−B1C1D1中，BC=CD=CC1=1，BC⊥CD，M，N分别是棱BC，C1D1的中点，三棱柱BCD−B14.若直线l：y=ax+b与函数f(x)=ex和g(x)=x+34的图象均相切，则实数b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”.下表是二十届五中全会后第x个月某工业园区应用人工智能的工厂个数y的数据：x12345y23578(1)求y关于x的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数；

(2)从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为X，求X的分布列与数学期望．

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n16.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为32．

(1)求C的方程；

(2)直线l：y=kx+m(k≠0)与C有唯一公共点P，过点P且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于点A17.(本小题15分)

如图所示，在圆台O1O的轴截面A1ACC1中，AC=2A1C1=2AA1=4，B为底面圆周上异于A，C的点，且18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−x,g(x)=x2+x+aex(a∈R)．

(1)求f(x)的极小值；

(2)讨论g(x)的单调性；

(3)若存在实数a19.(本小题17分)

如图，设A是由nxn(n≥3)个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且满足ai1，ai2，…，ain(i=1,2,…,n)与a1j，a2j，…aa…aaa…a⋮⋮…⋮aa…a若根据条件p，能求出数表A中所有的数，则称A能被p确定．

(Ⅰ)已知n=3，分别根据下列条件，直接判断数表A能否被其确定：

条件p1：“已知a13，a22，a31”；

条件p2：“已知a12，a21，a23，a33”.

(Ⅱ)设条件p：“任意给定数表A中的m个数”，A能被p确定，证明：m的最小值为2n；

(Ⅲ)设条件p：“已知集合{aij|i=j或i+j=n+1，其中i=1，2，…，参考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.A

8.C

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.1516．13.5π8．14.1.

15.解：(1)由表格中的数据可得x−=1+2+3+4+55=3,y−=2+3+5+7+85=5，

所以b=i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2

=(1−3)(2−5)+(2−3)(3−5)+(3−3)(5−5)+(4−3)(7−5)+(5−3)(8−5)(1−3X012P133所以E(X)=0×116.解：(1)由题意得b=1．

由e=ca=32，得c2a2=a2−b2a2=1−1a2=34，解得a2=4．

所以x24+y2=1；

(2)联立y=kx+mx2+4y2=4，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0．

由题意知，Δ=0，则(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)=0，化简得m2=4k2+1．

设A(x0,0)，B(0,y0)，P(x1,y1)，

则2x1=−8km1+4k2，即x1=−4km1+4k2=−4km，

所以y1=kx1+m=1m，

所以直线AB的方程为y−1m=−1k(x+4km)⇒y=−1kx−3m，

令y=0，得x0=−3km，令x=0，得y0=−3m．

ΔOAB的面积S=12|x0y0|=12|9km2|=92×|k|4k2+1=98，

整理得4k2−4|k|+1=0，解得|k|=12，

故18.解：(1)由题f′(x)=ex−1，

当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

因此当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=e0−0=1；

(2)g′(x)=(2x+1)ex−(x2+x+a)exe2x=−x2+x+1−aex，

令h(x)=−x2+x+1−a，Δ=1+4(1−a)=5−4a，

当Δ≤0，即a≥54时，h(x)≤0恒成立，即g′(x)≤0，因此g(x)在R上单调递减，

当Δ>0，即a<54时，方程−x2+x+1−a=0有两个不等实根，x1=1−5−4a2,x2=1+5−4a2，

显然x1<x2，当x∈(1−5−4a2,1+5−4a2)时，h(x)>0⇒g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x∈(−∞,1−5−4a2)或x∈(1+5−4a2,+∞)时，h(x)<0⇒g′(x)<0，g(x)单调递减；

(3)由题意，当x∈(0,+∞)时，f′(x)⋅g(x)>bx2恒成立，

即(1−e−x)(x2+x+a)>bx2恒成立，

当x>0时，1−e−x>0，不等式等价于a>bx21−e−x−(x2+x)，

令H(x)=bx21−e−x−x2−x，因此已知转化为：存在实数a，使得a>H(x)对任意x>0恒成立，

若b>1，当x>0时，0<1−e−x<1，H(x)>bx2−x2−x=(b−1)x2−x，

当x→+∞时，(b−1)x2−x→+∞，因此H(x)→+∞，此时不存在满足条件的实数a，

若b≤1,H(x)≤x21−e−x−x2−x=x2ex−1−x，

令m(x)=x+1−ex，m′(x)=1−ex<0，因此m(x)在(0,+∞)上单调递减，

因此当x>0时，ex−1>x，因此x2ex−1−x<x2x−x=0，

因此H(x)<0，只要a≥0即有a>H(x)，符合条件，

综上所述，b的取值范围是(−∞,1]．

19.解：(Ⅰ)数表A不能被p1确定；数表A能被p2确定，

对于条件p1，假设数表A中每行、每列的公差都相等，均为d，

则a13=a11+2d，a31=a11+2d，a22=a12+d=a11+2d，

则a13=a22=a31=a11+2d，a11、d均无法确定，故数表A不能被p1确定；

对于条件p2，因为