衍生金融工具（高教）第十章 期权的套期保值

第十章期权的套期保值1本章导读2015年2月9日，我国资本市场期待已久的上证50ETF期权在上海证券交易所面世。但是期权作为衍生产品在交易中存在一定风险，如何判断期权交易的风险，如何准确地度量和合理控制期权头寸的风险。本章我们会利用希腊字母我们量化每一种风险类型的风险暴露，把期权风险管理转化为希腊字母的管理。2知识结构图3第一节期权头寸的风险与抵补假设某金融机构出售了10张基于上证50ETF看涨期权，得到期权费收益7000元。我们假设ETF看涨期权还有3个月到期，ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%。利用BS公式我们得到期权的价格为5700元。于是这家金融机构以高于理论价格卖出了该期权。随着市场的变化，期权空头的价值也会发生变化，我们应该如何度量其头寸的风险暴露并对其进行管理呢？4第一节期权头寸的风险与抵补裸期权（nakedposition）又称无保护期权，是指期权头寸没有采用任何对冲措施。如当投资者卖出一份看涨或看跌期权，收取期权费，并希望期权的标的资产价格可以向他期望的方向变动，这样作为期权卖方就可以在没有任何资本投入的前提下获得期权费收入。但投资者在这项交易中的最大收益也只能是期权费，而最大的损失额可能很大甚至从理论上讲可能是无限的。5第一节期权头寸的风险与抵补前面例子中，若3个月到期时ETF价格低于2.6元，裸期权头寸策略将运行得很有效。该期权不会被执行，金融机构分文无损，整个交易中金融机构净获利7000元。若3个月到期时ETF价格高于2.6元，假设为2.8元，那么看涨期权将被执行，该金融机构将必须以当前的市场价格购买10万份上证50ETF与该期权头寸对冲，其损失为ETF价格超出执行价格部分的10万倍，即：100000×(2.8-2.6)=20000元。期末ETF价格越高，金融机构的损失也越大。6第一节期权头寸的风险与抵补在这种情况下我们有另一种可选的策略——有保护期权头寸策略（coveredposition），即机构在出售看涨期权的同时买入10万份ETF，支付240000。此时如果期权被执行，有保护期权头寸策略将很有效，而如果三个月期末ETF价格低于执行价格，期权没有被执行，则该策略将增加金融机构的成本，比如ETF价格降到2.2元，看涨期权没有被执行，金融机构额外损失20000元。这一数量远远大于期权费带来的7000元的收入。7第一节期权头寸的风险与抵补另一种套期保值方法——止损策略（stop-lossstrategy）。这种策略的思路是，如果我们出售了一单位欧式看涨期权，一旦价格高于执行价格我们买入一单位标的资产，而价格低于执行价格就卖出该标的资产。也就是在期权虚值时采用裸期权策略，而在实值时采用有保护的期权策略。止损策略也不是很有效的套期保值手段，对于一个虚值状态的期权，如果标的资产价格从来达不到执行价格，那期权也不存在套期保值成本，而如果标的资产价格频繁越过执行价格，我们套期保值的成本支出也会很惊人。8第一节期权头寸的风险与抵补一、Delta的定义Delta是期权价格变化与其标的资产价格变化的比率，即，其中为看涨期权的价格，为股票价格。表现在图像中，delta其实就是期权价格作为标的资产价格函数的曲线的斜率。9第二节Delta套期保值Delta的一些具体的性质：（1）看涨期权多头的delta值为正，表示看涨期权价值和标的资产价格同方向变动；看跌期权多头的delta值为负，表示看跌期权价值同标的资产价格反方向变动；期权空头的delta值与期权多头的delta值符号相反。（2）实值期权的delta绝对值较大，且随着实值程度的增加而趋向于1，表示其价值受标的资产价格的影响越大；平值期权的delta绝对值约为0.5；虚值期权的delta绝对值较小，且随着虚值程度的增加而趋向于0，表示其价值受标的资产价格的影响越小；标的资产的delta值等于1。10第二节Delta套期保值二、欧式股票期权的Delta我们考虑还有3个月到期的上证50ETF看涨期权和看跌期权。11第二节Delta套期保值对于不付红利股票的股票期权，我们有：欧式看涨期权欧式看跌期权对于有红利支付的股票期权，假设红利收益率为，欧式看涨期权欧式看跌期权12第二节Delta套期保值三、Delta中性假设某机构现在卖出100份一只不付红利股票的看涨期权合约（每份期权合约标的资产为100股股票），如果该股票看涨期权的delta为0.5，则它可以通过买入股股票对该期权头寸进行对冲。当股票价格上涨1元时，机构因为买入的5000股股票将增值元，同时期权价格将上涨0.5元，而机构作为看涨期权的卖空方将损失元，此时在股票头寸上的收益与看涨期权头寸上的损失刚好抵消。这种标的资产头寸的delta与期权头寸的delta完全冲消，从而使得组合的delta为0的状态，我们称为delta中性（deltaneutral）。13第二节Delta套期保值考虑一个还有10周（0.192年）到期的ETF看涨期权，ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%，假设现在金融机构卖出10张该期权，每张ETF期权基于1万份ETF份额。我们先看期末期权为实值的情况。作为期权卖方金融机构需要购入份基金来达到delta中性，按照当前ETF价格计算购买成本元，所以金融机构需要借入66720.00元，假设借入资金利率为5%，所以第一周内的利息成本为元。14第二节Delta套期保值一周过后，期末ETF价格变为2.35元，相应地，delta也降为0.218，此时金融机构只需要保留21800份基金，所以为了保持delta中性，需要出售6000份基金份额，按照此时的ETF价格，机构出售基金份额获得元，考虑到第一周的利息费用，所以期末的累积成本为：元，并且计算出第二周内的利息费用为50.66元。随后几周的计算方式相同。到第10周末，期权delta达到1，即期权已被完全套保。同时由于ETF的价格为3.72元，期权将被执行，金融机构以2.60元的执行价格出售10万份基金份额得到260000元。套期保值期末累计成本为289328.67元，所以最后金融机构的套保费用为29328.67元。15第二节Delta套期保值16第二节Delta套期保值一周过后，期末ETF价格变为2.49元，相应地，delta也上升为0.400，此时金融机构需要持有40000份基金，所以为了保持delta中性，需要再购入12200份基金份额，按照此时的ETF价格，机构购入基金份额支付12200×2.49=30378元，考虑到第一周的利息费用64.15元，所以期末的累积成本为：并且可以计算出第二周内的利息费用为93.43元。随后几周的计算方式相同。到第10周末，由于ETF价格1.72元低于执行价格，期权处于虚值状态，期权不会被执行。组合的delta接近0，最后金融机构套保费用为21736.39元。17第二节Delta套期保值18第二节Delta套期保值四、有价证券组合的Delta假设是单个资产的价格，是基于该资产的期权或其他衍生产品的组合，则该组合的delta值为。组合的delta值也可以根据组合中每种期权的delta值计算得到，假设某证券组合中，第t（）种期权的数量为，期权的delta为，则证券组合的delta值为：同样，当该组合的delta值为0时达到delta中性。19第二节Delta套期保值例如：我们考虑我国上证50ETF期权，假设有如下三个头寸：1.10张看涨期权多头，行权价格为2.5元，2个月后到期，每份期权delta值为0.52.20张看涨期权空头，行权价格为2.6元，3个月后到期，每份期权delta值为0.43.10张看跌期权空头，行权价格为2.2元，1个月后到期，每份期权delta值为-0.4所以这个期权组合的delta值为：我们可以通过卖出10000份“50ETF”基金使得组合达到delta中性。20第三节Theta一、Theta的定义我们用theta（）描述时间与期权价格之间的关系。在其他条件不变的情况下，证券组合Π的价值变化与时间T变化的比率用theta表示，它代表了每变动一天期权价格的变动量。theta（）=由定义可以推导出theta的一些性质：（1）一般情况下，看涨期权和看跌期权多头的theta值为负，空头的theta值与多头符号相反。（2）平值附近期权的theta绝对值最大，随着实值或虚值程度的加深不断递减，标的资产的theta值为零。21第三节Theta下面我们画出还有3个月到期ETF看涨期权theta和ETF价格之间的关系图。假设ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%的。22第三节Theta二、Theta的计算对于不付红利股票的欧式期权，其中，对于支付红利的欧式期权，假设红利收益率为，则

23第三节Theta值得注意的是，上述公式中的时间都是以年为计量单位，但实务中theta报价的时间常常是以天为单位计算，即在其他条件不变的情况下，时间过去1天证券组合价值的变化。考虑一个还有3个月到期的上证50ETF看涨期权。假设ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%，则这个看涨期权的theta为：24第四节Gamma一、Gamma的定义期权交易组合的gamma（）是指证券组合的delta变化与标的资产价格变化的比率，也就是给定标的资产价格发生变化时delta的变化率。从微积分的角度来说，gamma是证券组合相对于资产价格的二阶导数：由gamma的定义我们可以推导出它的一些性质：（1）看涨和看跌期权多头的gamma值相等且都为正，空头的gamma值与多头符号相反。（2）平值附近期权的gamma值最大，随着实值或虚值程度的加深不断递减。（3）标的资产的gamma值总是为零。25第四节Gamma二、Gamma的计算对于不付红利股票的欧式看涨或看跌期权Gamma，我们有下面的公式：对于红利支付率为的欧式期权，26第四节Gamma考虑一个还有3个月到期的上证50ETF看涨期权。假设ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%。则这个看涨期权的gamma为：期权多头的gamma值总为正值。并且gamma在期权平值的时候最大，在期权价格向实值或虚值变化的时候逐渐变小。27第四节Gamma三、Gamma中性如果一个组合的gamma值为0，我们称为gamma中性。假设某交易组合已达到delta中性，此时组合的gamma为-1000。市场上某可交易看涨期权的delta和gamma分别为0.30和2.00，为了使交易组合达到gamma中性，我们应购入份该看涨期权，此时交易组合的delta从0变为，为保持delta中性，我们要出售150份标的资产。于是在这一瞬间交易组合达到gamma中性、delta中性。28第四节Gamma四、Delta、Theta和Gamma的关系根据前面章节Black-Scholes-Merton微分方程，我们知道所以对于一个交易组合，其价值应当满足：根据delta、gamma和theta的定义，我们可以改写上面方程：当delta达到中性时，如果保持证券组合价值不变，则当theta为正并且数值较大时，gamma相应地将为负并且数值也会较大，在这种情况下，theta和gamma互为镜像值。29第五节Vega一、Vega的定义交易组合的vega（）是交易组合价格变动与标的资产价格波动率变动的比值。即：具体来看，vega有以下性质：（1）看涨期权和看跌期权多头的vega值为正，表示期权价值与波动率同方向变动，空头的vega值与多头符号相反。（2）平值附近期权的vega值最大，随着实值和虚值程度的加深不断递减。（3）标的资产的vega值为零。30第五节Vega二、Vega的计算对于不支付红利股票的欧式看涨或看跌期权vega，我们有下面的计算公式：对于红利支付率为的欧式看涨和看跌期权，31第五节Vega假设市场中一个还有3个月到期的上证50ETF看涨期权。ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%。则这个看涨期权的vega为：32第五节Vega三、Vega中性一个交易组合的vega值为0，我们称为vega中性。假设市场上某一交易组合delta中性，gamma为-2000，vega为-4800。市场中某可交易期权delta为0.3，gamma为0.4，vega为1.6。为使vega中性，我们需要买入3000份该期权，此时delta变为900，gamma从-2000变为-800。此时我们可以通过卖出900份标的资产使delta达到中性，但是无法同时构造gamma中性。33第五节Vega所以为了使得gamma和vega同时达到中性，我们需要引入第二个期权。假设市场中另一可交易期权delta为0.2，gamma为0.8，vega为1.2。两种期权的数量分别为和。分别构造gamma和vega中性方程：根据这两个方程解得，，即购入1800份第一种期权和1600份第二种期权可以同时实现gamma中性和vega中性，而由于新购入期权此时组合的delta变为

所以此时卖出860份标的资产使delta也达到中性。34第六节Rho一、Rho的定义一个交易组合的rho被定义为组合价值变动与利率变动的比值，即：对于多数投资者来说，只有当利率波动较大时，期权的rho才需要考虑。随着利率上升，看涨期权的价格增加，看跌期权的价格减小。随着期权到期时间的减少，利率变化对期权价格的影响逐渐减小，期权的rho将趋于0。35第六节Rho二、rho的计算对于不支付红利股票看涨和看跌期权的rho，我们有下面的计算公式：36第六节Rho假设市场中一个还有3个月到期的上证50ETF看涨期权。ETF现价为2.4元，执行价格为2.6元，无风险年利率为5%，ETF价格波动率为每年25%。则这个看涨期权的rho为：

37第七节情景分析所谓情景分析（scenarioanalysis）是指选定某一段时间内不同场景，并计算这些场景下交易组合的损益。选定时间的长度通常跟产品流动性有关，而不同场景的选择则根据管理者的经验，或通过模型模拟产生。假设某机构持有4份基于某标的资产的欧式看涨期权，资产价格为50，无风险利率为5%，当前波动率为20%。下表给出了4种看涨期权的头寸、期限和执行价格，我们需要分析在三个月时间内不同情景下的组合头寸价值。38第七节情景分析利用DerivaGem软件计算得到当前组合头寸价值为143.83。在情景分析过程中，我们考虑了5个不同资产价格和3个不同波动率的影响，假设在三个月时间内标的资产价格变动的一个标准差为5，资产价格变动选择1个和2个标准差，波动率则选择15%、20%、25%三种情况。39第七节情景分析利用DerivaGem我们确定该组合的最差情形位于表格左上角，即波动率降至15%基础资产价格降至