9.2 格林公式课件

1第三节一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用三、全微分方程2区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式3证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-

型区域,且则定理14即同理可证①②①、②两式相加得:定理152)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理16推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理17例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令则利用格林公式,得89例3.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:

令,则利用格林公式,有10例4.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知11在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

l¯

所围的区域为林公式,得12二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即13(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)

(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理214(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)与路径无关,只与起止点有关.在D内是某一函数的全微分,即证明(2)

(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理215(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微分,即证明

(3)

(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理216证明

(4)

(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(4)在D内每一点都有定理217说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx

+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2184)若已知du=

Pdx

+Qdy

,则对D内任一分段光滑曲定理2线AB,有注:

此式称为曲线积分的基本公式.

它类似于微积分基本公式:19例5计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则20例6.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使21例7.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2

可知存在原函数22或23例8.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.24思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!内容小结转内容小结25判别:

P,Q

在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数

u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.三、全微分方程则称为全微分方程.③26例9.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法127法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④⑤由④得与⑤比较得因此方程的通解为28例10.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或29思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例9的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数积分因子.30内容小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在D

内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程31思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:322.设提示:第四节33

备用题1.

设

C

为沿从点依逆时针的半圆,计算解:

添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点342.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F

对质点M

所作的功.F

的大小等于点M在此过程中受力F作用,353.

已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有36曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分

(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

37cosα、cosβ的求法：起点A

、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系383格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。39（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件40与路径无关的四个等价命题条件等价命题41

(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a424344例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

45例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

46

(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以474849OA5051取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则52解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

53L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

54

取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB5556解57解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

58由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则59起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。60

Γ是用y=z去截x2+y2+z