7.6 方向导数与梯度

17.6方向导数与梯度7.6.1方向导数7.6.2梯度2

函数的增量f(x+⊿x，y+⊿y)－f(x，y)与P、P′两点间的距离即

1方向导数的定义

设函数z=f(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义，自点P引射线l。设x轴正向到射线l的转角为

,并设P′(x+⊿x，y+⊿y)为l上的另一点（如图）且P′∈U(P)。我们考虑xOy⊿y⊿xPP′ρl7.6方向导数与梯度7.6.1方向导数3当P′沿着l趋于P时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数f(x，y)在点p沿方向l的方向导数4２方向导数与偏导数之间的关系

（1）从定义可知，当函数f(x，y)在点P(x，y)的偏导数fx

、fy存在时，函数f(x，y)在点p沿着x轴正向e1={１，０},y轴正向e2=｛０，１｝的方向导数存在,且其值依次为fx

，fy.5函数f(x，y)在点P沿x轴负向e1′={－１，０),y轴负向e2′=｛０，－１｝的方向导数也存在,且其值依次为－fx

，－fy

。6

（2）即使沿任何方向的方向导数都存在，也不能保证fx

、fy存在

例如但fx(０，０)

、fy(０，０)不存在。在点(０，０)处7３方向导数的计算方法

证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以

得到8故有方向导数注9解10推广可得三元函数方向导数的定义11解令故方向余弦为12故131梯度的定义

定义7.6.2

设函数z=f(x，y)在区域D内具有一阶连续偏导数，则对每点P(x，y)∈D，都可定出一个向量

这个向量称为函数z=f(x，y)在点P(x，y)的梯度，记作:注(ii)对于三元函数可类似地定义:(i)梯度是一向量。7.6.2梯度142梯度的性质（与方向导数的关系）

且最大值为梯度的模15

经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

结论：函数z=f(x，y)在某点P(x，y)处沿梯度方向的方向导数最大（函数增长最快），而它的最大值为梯度的模。

16例3求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点M0(1，－1，2)处方向导数的最大值，及M0在取得方向导数最大值的方向与坐标轴夹角的余弦。

解：

gradf={2x，2y，2z}，gradf(1，－1，2)={2，－2，4}17小结

本节主要介绍了方向导数与梯度的概念.

本节要求理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法.习题7-618第二次习题课一、内容及要求

1．空间曲线的切线及法平面

（1）

由参数方程给出时切线方程法平面方程19（2）

由一般式方程给出时

则

(3)交面式空间曲线的切线的另一求法。

切线为两切平面的交线。切向量T∥n1n2.202．曲面的切平面与法线

(1)∑的方程为F(x，y，z)=0，M0是∑上一点，则法向量

(2)∑为z=f(x，y)时，fx、fy在(x0，y0)处连续，

3.方向导数与梯度（1）方向导数（i）定义21(ii)计算方法对于三元函数

2）用定义(函数不可微)1）公式：2223(ii)性质（与方向导数的关系）函数f(x，y)的梯度是这样一个向量，它的方向与函数取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

4多元函数的极值（1）多元函数极值的定义

（2）多元函数极值的必要条件与充分条件（2）梯度

(i)定义

f(x，y)在D内一阶偏导连续，

24（3）多元函数最值的求法（i）一般的最值问题的求解方法如f(x，y)在有界闭区域上连续，则最值一定存在。将D内的可能极值点（驻点或偏导不存在的点）处的函数值与函数在D的边界上的最值（通常化为一元函数最值问题或条件极值问题）相比较而确定。（ii）实际问题中：如依问题的实际意义知f(x，y)的最大（小）值一定在D内取得，而函数在D内偏导数存在且驻点唯一，则可断言驻点处的函数值就是要求的最大（小）值。

25(4)条件极值及拉格朗日乘数法。

(i)函数z=f(x，y)在条件

辅助函数

(iii)函数u=f(x，y，z，t)在条件下的极值

辅助函数

(ii)函数u=f(x,y,z)在条件辅助函数

26二、典型例题

例1求曲线y2=2mx,z2=m－x在点M0(x0,y0,z0)处的切线方程解法一：公式法F(x，y，z)=2mx－y2=0，

G(x，y，z)=x+z2－m=0。

Fx=2m，Fy=－2y，Fz=0；Gx=1，Gy=0，Gz=2z。

切线方程

27解法二：将y、z视作x的函数,方程两端对x求导,有在点(x0，y0，z0)处的切向量可取切线方程为

28例2在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程解：曲面z=xy上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为已知平面的法向量为n1={1，3，1}，依题意应有n∥n1，即故所求点为(－3，－1，3)，所求法线方程为29解又因所以在M点的内法线方向为例330例4设x轴正向到方向l的转角为

，求函数f（x，y）=x2-xy+y2在点（1，1）沿方向l的方向导数，并分别确定转角

，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。解法一gradf（1，1）={1，1}，当l的方向与gradf（1，1）一致时，方向导数可取得最小值.当l的方向与-gradf（1，1）一致时，导数可取得最大值；31方向导数值为零。解法二根据方向导数的计算方法：方向导数可取得最大值；方向导数可取得最小值；32解33解343536可得即37例7解法一分析:38得3940解法二作切平面平行于平面，设切点为

(x0,y0,z0)41

解法一

设P(x，y，z)是交线上的一点，该点到xOy平面的距离为|z|。由于点P在柱面x2+y2=1上，所以有|x|≤1，|y|≤1于是

于是问题化为求函数d