7.5 多元函数微分学的几何应用

17.5多元函数微分学的几何应用7.5.1空间曲线的切线与法平面7.5.2曲面的切平面与法线27.5多元函数微分学的几何应用7.5.1空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.1空间曲线由参数方程给出时

3考察割线趋近于极限位置

——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程4

注上式中的分母不能全为零。如其中某一个分母为零，则相应的分子也为零。切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.

法平面：过M点且与切线垂直的平面.51.空间曲线方程为法平面方程为特殊地：6

点M0(x0，y0，z0)是

上一点，又设F，G对各变量有连续偏导数，且2当曲线由交面式方程给出时

由本章第五节所讲隐函数存在定理3知，在M0的某邻域确定了一组连续可导的函数7上式等于两端对x求导数，得

代入(1)式得恒等式切线方程为8法平面方程为(ii)我们推出（2）式是在（2）式中的第一个分母不为零的条件下将y、z视作的x函数而推出的，如（2）式中的第一个分母为零，而第二或第三个分母不为零，这时可视y或z为自变量，同样可推出公式（2）。注(i)如(2)式中有的分母为零,则相应分子为零。9解切线方程法平面方程1011所求切线方程为法平面方程为故可取

12所求切线方程为法平面方程为131设曲面方程为曲线在M处的切向量

在曲面上任取一条通过点M的曲线

首先我们证明：曲面∑上过点M0且具有切线的任何曲线，它们在点M0处的切线都位于同一平面上。

7.5.2曲面的切平面与法线14

事实上，由于

位于∑上，所以有恒等式

即有

上方程两端对t求导，有令可以证明15

因此，曲面∑上过点M0且具有切线的任何曲线，它们在点M0处的切线都位于同一平面上，此平面称为曲面在

M0处的切平面。亦即切平面方程为16

过M0而垂直于切平面的直线称为曲面∑在点M0处的法线。法线方程为称为曲面∑在点M0处的一个法向量172空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令法向量18切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为194

曲面法向量的方向角、方向余弦

假定取法向量的方向是向上的，则式中fx=fx(x0，y0)，

fx=fy(x0，y0)。

思考如果取n向下时，方向余弦应如何求？如方程为F(x，y，z)=0时，如何求方向余弦？如方程为x=g(y,z)时,或y=h(z,x)时如何求方向余弦？20解切平面方程为法线方程为21解令切平面方程法线方程22解设(x0,y0

z0)为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为(x0,y0

z0)是曲面上的切点所求切点为切平面方程(1)切平面方程(2)23小结

本节主要讨论了多元函数的微分学在几何中的应用。

本节要求会求空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线．习题7—524第一次习题课一、内容及要求

1理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义.2会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性.4理解多元函数连续、可导、可微的关系．

3能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.255熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）注：多元复合函数的偏导数变量关系图

uvzxy则有

链式法则—“连线相乘，分线相加”（1）26（2）几种变形

uxyzt(i)多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：

27(iii)中间变量与自变量混合存在:xyuzxy（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v不管是自变量还是中间变量，有（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)求Zxx,Zxy,Zyy

时应该注意到fu

,

fv仍是复合函数.286熟练掌握隐函数的偏导数的计算（2）方程组的情形(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。

求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数).

一般：变量个数－方程个数=自变量个数

（1）单个方程的情形理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:

29二、典型例题分析

1、选择与填充（A）不连续（B）偏导存在(C)可微3031例２解3233例3解3435例4设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求

解zxyuxy36例5解37例6证明38代入得证。39例7证明：两端求对x的偏导数，得

两端同乘以x2z2：两端求对y的偏导数：

两端同乘以y2z2：(1)式+(2)式

40例8解：方程两端求对x的偏导数，有解得

方程两端求对y的偏导数，有41或利用全微分形式的不变性求偏导

整理可得由此可求得42

也可利用公式，令：于是43例9.设，其中f、g具有一阶连续偏数，

解所给方程两端对x求偏导，得

整理可得

4445例10.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（1）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对x求导得t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)46t是F(x，y，t)=0确定的x、y

的函数，由隐函数求导法知

将（