7.1 多元函数的概念

1

多元函数的概念

偏导数与全微分

多元复合函数求导法

隐函数求导法

多元函数微分学的

方向导数与梯度

多元复合函数的第

章7

元函数的微分学及其应用几何应用极值及其求法27.1多元函数的概念7.1.1平面点集的有关概念7.1.2多元函数的概念7.1.3多元函数的极限7.1.4多元函数的连续性31.邻域7.1多元函数的概念7.1.1平面点集的有关概念42区域例如，即为开集．56

(6)区域连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，7有界闭区域；无界开区域。例如，３有界集84聚点(1)内点一定是聚点；注：(2)边界点一定是聚点；例如(0,0)既是边界点也是聚点．9(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．105n维空间(1)n维空间的记号为注：(2)

n维空间中两点间距离公式11注：n维空间中邻域、区域等概念

特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义。邻域：设两点为12类似地可定义三元及三元以上函数。定义

7.1.１设D是平面上的一个点集，则称映射f:D

R为定义在D上的二元函数，7.1.2多元函数的概念1二元函数的定义13例1

解所求定义域为14二元函数的图形通常是一张曲面.2二元函数z=f(x,y)的图形157.1.3多元函数的极限定义7.1.216注：（1）定义中P

P0

的方式是任意的。（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似。（4）二元以上的函数的极限可类似地定义。17例2

用定义证明证明:原结论成立。2．二元函数极限问题举例

18例3求极限解其中19例4证明分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限不存在。证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限20例4*

解当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时，

当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,它是与k的取值有关的，所以二重极限21确定极限不存在的方法：22

定义6.1.3注:(1)间断点的判别与一元函数类似。(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。1

多元函数连续性的定义

7.1.4多元函数的连续性23例5

讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.24例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．252闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理26

多元初等函数：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．3

多元初等函数的连续性

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．27例7解28小结

本节主要讨论了多元函数的概念、多元函数极限及连续的概念。

本节要求了解多元函数极限及连续的概念，知道多元初等函数的连续性及有界闭区域上连续函数的性质，会求一些二元函数的极限。29第一次习题课一、内容及要求

1理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义.2会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性.4理解多元函数连续、可导、可微的关系．

3能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.305熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）注：多元复合函数的偏导数变量关系图

uvzxy则有

链式法则—“连线相乘，分线相加”（1）31（2）几种变形

uxyzt(i)多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：

32(iii)中间变量与自变量混合存在:xyuzxy（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v不管是自变量还是中间变量，有（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)求Zxx,Zxy,Zyy

时应该注意到fu

,

fv仍是复合函数.336熟练掌握隐函数的偏导数的计算（2）方程组的情形(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。

求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数).

一般：变量个数－方程个数=自变量个数

（1）单个方程的情形理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:

34二、典型例题分析

1、选择与填充（A）不连续（B）偏导存在(C)可微3536例２解3738例3解3940例4设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求

解zxyuxy41例5解42例6证明43代入得证。44例7证明：两端求对x的偏导数，得

两端同乘以x2z2：两端求对y的偏导数：

两端同乘以y2z2：(1)式+(2)式

45例8解：方程两端求对x的偏导数，有解得

方程两端求对y的偏导数，有46或利用全微分形式的不变性求偏导

整理可得由此可求得47

也可利用公式，令：于是48例9.设，其中f、g具有一阶连续偏数，

解所给方程两端对x求偏导，得

整理可得

4950例10.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（1）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对x求导得t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)51t是F(x，y，t)=0确定的x、y

的函数，