大学《高等数学》考试复习练习题及答案1

习题课十八

填空题

1.设瓦与为非零向量，且5=晟工，b=cxa91=5xB,贝1J同+5+同=3o

解:显然扇反三互相垂直。

,a=bxc=|^||c|sin(^,c)=|^||c|同理b=\a\|c|，同=同b

»\\a=bc=bab=ab，又同wO,

_2__

h=1=>b=\,同理可证同=1,c=1,故2+B+R=3。

2.(axb)c=2,贝ij\(a\b)x(b\c)\(c\a)=4o

解：[(ZJ+^)x(&+c)]-(?+5)=[(dx(^4-c)+6x(^+c)]-(c+6Z)

=[axb+dxc+bxb-^-bxc]-(c+a)=(^x/?)-(c+tz)4-(tzxc)-(c+ti)+(/?xc)-(c+J)

=(ax/?).c+(tzx/?)^+(axc)-c+(«xc)^+(/?xc)-c+(/?xc)^

=(axh)-c+(hxc)-d=2(axb)-c=4。

3.已知三角形5(2,3,4),C(4,3,2),则AA8C的面积S=276。

_________Zjk

解：AB={1,2,3},AC={3,2,1},ABxAC=l23={-4,8,-4),

321

S二g|而x同J(—4)2+82+(-4：=2瓜

4.设一平面过原点及A(6,-3,2),且与平面4x-y+2z=8垂直，

则此平面方，程为2x+2)-3z=0o

解：OA={6,-3,2),已知平面的法向量为1={4,—1,2},

则所求平面的法向量为n}=O4xn={6,-3,2}川4,一1,2}={求,一4,6}=-2{2,2,-3)，

故所求平面的方程为2(x—0)+2(y—0)—3(z—0)=0,即2x+2y—3z=0。

子皇号和如x+\_y-\_z

5.已知直线4:三一丁一7，则过力且平行于〃的平

面方程为x-3y+z+2=0。

—•

k

解:所求平面的法向量〃={1,0,-l}x{2,1,1}=1-1={1,一3,1},点M(l,2,3)£4,

21

故所求平面方程为1・(工一1)一3()」2)+l-(z-3)=0,即x-3>+z+2=0。

6.点P(3,—1,2)到直线L：x=l,y=3/+2,z=31+4的距离d=3A。

解：直线L的方向向量2={0,3,3},A(l,2,4)eA,巳4={一2,3,2},

PAxa9372

PAxa={3,6,-6},PAxG=9,

二、选择题

1.下列命题正确的是(C)

(A)(a-b)(a-b)=(a*a)(b-b)；(B)(a+b)x(a+b)=axa+2axb-^-bxb；

(C)((5x(5x/?))x5)•〃=();(I)){ab)c=a(bc)o

2

解:(A)：左边=33)33)=(同用0./))2,右边二间2W；

(B)：左边=0,右边=26x5；

(C)：((5X(2XB))X2).B=(2XB).(2X(2XB))=0O

(D)：伍石)1与一同向;。(坂・1)与♦同向。

2.两直线％『=与二学与〃：<x-y=6,

的夹角为(D)

2y+z=3.o

(A)(⑻/©…『

解：4、心2的方向向量分别为石={1，一2,1}，^={1,-1,0}x{0,2,1}={-1,-1,2}.

a\，a23171

c°叱丽=对"5'崂°

x=3+3，，

3.直线4：土吆=2二三1与上：Jy=l+4E,(D)

2-34-

z=7+1.

(A)垂直；(B)平行；(C)相交；(D)异面但不垂直。

解:而={2,-3,4},不={3,4,1},

Va\-^2=一2工0,Ja\与a2不垂直也不平行。

必(—2,0,1)EL],M2(3,l,7)e£2,A/1M2={5,1,6},

516

・・•历跖1石1=2-34=17^0,・・・4与乙2异面，且不垂直。

341

4.直线乙：言=券=：与平面兀：4x—2y—2z=3的关系为(A)

(A)平行，但直线不在平面上；(B)直线在平面上；

(C)垂直相交；(D)相交但不垂直。

解：L的方向向量为[={-2,—7,3},平面兀的法向量为[={4,-2,—2},

V6zn=-8+14-6=0,/.〃_L〃，

又・・・M(—3,—4,0)d,但M。，・・・L〃兀，但La兀。

三、解答题

1.求过点M(—1,2,—3),与已知平面兀：6x—2y—3z+10=0平行，且与直线

(*+y+z—3=0'相交的直线心的方程。

[x+6y+3z-4=0.

解法1：直线L的方程为山=上二=出，方向向量为[={/,根，力，

Imn

平面兀的法向量为三{6,-2,-3},

*.*L±K,/•a±n,得6/—2/〃-3〃=0,

直线，的方向向量为[={1,1,1}X{1,6,3}={-3,-2,5}.

M（-1,2,-3）GL,用1（1,一1,3）£4，MM[={2,—3,6},

・・•£与均相交，

Imn

[aci\MM\]=—3—25=3/4-28/??4-13/2=05

2-36

_2

,6/—2"?—3/z=0,/=

由<,=>-3"'=/：加：〃=2:-3:6,

3/+28机+13〃=0.n=-2m.

・••所求直线L的方程为四=上二=出。

2-36

解法2：设所求直线L与直线》的交点为例i（x0,y°,z。），则

而访={儿+1,乂—2/。+3},即为直线L的方向向量，它必与平面£的法向量

"={6,-2,—3}垂直，于是得

x°+y。+z0=3,X。=1,

x°+6y。+3z°=4,n<=-1,

6(xo+1)—2(y。-2)—3(zo+3)=0z0=3.

.,•必访={2,—3,6},L的方程为四=上匚=2。

2—36

%=1+rjr

2.一平面过直线卬{二金：：黑且与直线％：<y=2+t之间的夹角为B，求

z=3+2/6

该平面方程。

解：设过L]的平面束方程为兀：（x-2y+6）+入（x+y+z+l）=0,

即（1+九）x+（九-2））+屹+（九+6）=0,其法向量为元={1+入，入一2,九},

心的方向向量元="1，2},

..\n-a\|4Z-1|

则sin工二|cos(〃，a)产品=/,,L'

6\n\\a\J(l+九/+(入一2/+X2.痛

化简得23九2—10九—13=0,九=1或入=-上，

23

故所求平面方程为兀：2x—y+z+7=0或10x—59y—13z+125=0。

3.求点A（3,—1,—1）关于平面兀：6x+2y—9z+96=0的对称点的坐标。

解：过点A垂直于平面兀的直线方程为二=四=二U其参数方程为

62-9

x=3+6f,y=-l+2t,z=—\—9t,代入平面人的方程，得

6(3+6r)+2(-l+2r)-9(-l-9r)+96=0,22k+221=0，r=-lo

，交点(即投影点)为C(-3,—3,8)。

设所求的对称点为8(x,y,z),则点C为线段AB的中点，有

_

x+3公ylqz-lQQ</

=-3,=-3,=8,x=—9,y=-5,z=17o

2--------2---------2

，所求的点为3(-9,-5,17)。

7x-y-2z=8,01

4.求过直线八且球面(x_l)2+(y+])2o+z2o」相切的平面方程。

x-9y+8z=20.2

解：过直线L的平面束方程为7x—y—2z—8+Mx—9y+8z—20）=0,

即（九+7）x—（9九+1）），+（8九一2）z—20九一8二0,

令球心（1,-1,0）到平面束的距离为上，得囚+7+纨+1-2°1-冈=；,

近h+7）2+（9九+1，+（8九—2）2V2

|一网二1

解得九=±1,代入平面束方程

J146X2+54后

当九=1时,得8x—10y+6z—28=0,即4x—5y+3z—7=0；

当九二一1时，得6x+8y-10z+12=0,即3x+4y-5z+6=0°

5.已知入射线上?=1=一，求该光线经过平面兀：x+2y+5z+17=0反

射后的反射线，的方程。

解法1：将直线L的参数方程x=l+4r,>=l+3r,z=2+z,代入平面兀的方程:

1+4，+2(1+3。+5(2+，)+17=0,15^+30=0,t=-2,

得入射线L与平面兀的交点P(-7-5,0)o

设入射线L与反射线，的方向向量分别为a={4,3,1}与可，平面兀的法向量为

/?={!,2,5},取。=〃],则Q+Q[=入

a[=)Ji-a={K2入,5入}—{4,3,1}={入—4,2入—3,5