小升初数学核心素养视域下“还原问题”专题复习教学设计

小升初数学核心素养视域下“还原问题”专题复习教学设计

一、教学背景与设计理念

本课是针对小学六年级学生（小升初冲刺阶段）设计的奥数专题复习课，属于“数与代数”领域中的思维训练拓展内容。在课程改革理念的指导下，本设计摒弃了传统奥数教学中“重技巧、轻思维”的题海战术，转而聚焦于学生数学核心素养的培养，特别是直观想象、逻辑推理和数学建模能力。还原问题，又称逆推问题，其本质是“执果索因”，这一思维过程不仅是解一类应用题的工具，更是培养学生逆向思维，体会“逆运算”与“转化”思想的绝佳载体。本设计强调让学生在复杂的情境中理序、逆推、建模，通过“错中求解”、“图解法”、“列表法”等多种策略的对比与融合，帮助学生构建起从“单向思维”到“可逆思维”的认知桥梁，为初中阶段学习方程、函数乃至物理中的可逆过程打下坚实基础。

二、教学内容与学情分析

（一）教学内容深度解析

【重要】还原问题的核心特征是：已知一个数（或者一个量）经过一系列已知的运算（包括加减乘除、增加减少、倍数变化、物品分配等）后所得的结果，要求原来那个数（量）是多少。其解题的关键在于“逆运算”与“逆顺序”，即从最后的结果出发，逐步向前推理，每一步都施行与原运算相反的运算，且运算顺序也要完全颠倒。本专题将还原问题细分为四个层次：单一数量的一次或多次线性运算还原【基础】；涉及“一半多几”或“一半少几”的复杂线段图还原【重点】；多个数量之间相互交换、传递后的还原【难点】；以及利用列表或方程思想解决的高阶综合还原【高频考点】。

（二）学生情况研判

六年级学生已经掌握了整数、小数、分数的四则混合运算，具备初步的逻辑思维能力。但在面对叙述冗长、步骤繁多的还原问题时，学生常见的问题有三：一是【难点】“序”的混乱，无法理清事件发生的先后顺序；二是【易错点】“逆”的混淆，在倒推时容易忘记改变运算符号，特别是在处理“多几”和“少几”时，是加回来还是减回去容易出错；三是策略单一，面对复杂问题不知如何下手，缺乏画图、列表等策略意识。

三、教学目标设计

1.【基础认知】理解还原问题的结构特征，掌握“逆运算”和“逆顺序”的倒推基本法则，能正确计算单一变量的一次性还原问题。

2.【能力提升】通过画线段图、流程图等方法，能独立分析并解决含有“一半多/少几”的复杂还原问题，培养几何直观能力【重要】。

3.【思维进阶】在小组合作中，探索多个变量（如甲乙丙三人分物品）相互传递的还原问题，学会运用列表法进行逆向追踪，初步感悟“不变的整体量”在解题中的作用【难点】。

4.【素养达成】经历从结果推向原因的思维过程，体会逆向思维在解决实际问题中的价值，增强问题解决的策略意识，培养思维的灵活性和深刻性。

四、教学实施过程深度解析（核心环节）

（一）激趣导入，初感“逆思”——“魔法数学”引入

1.活动设计：教师扮演“魔术师”，对学生说：“请你在心中想好一个数，先加上5，再乘以2，然后减去4，最后除以2。你得到的结果是多少？”学生报出结果后，教师立即“猜”出他们心里想的原数。例如学生报出结果是8，教师立刻说出原数是5。

2.思维碰撞：揭晓谜底后，组织学生逆向还原。从结果8出发，除以2之前是8×2=16？不对，应该逆着顺序来：最后一步是“除以2”，之前的状态是8×2=16；倒数第二步是“减去4”，之前是16+4=20；再之前是“乘以2”，之前是20÷2=10；第一步是“加上5”，所以原数是10-5=5。

3.【基础】概念提炼：引导学生总结，这种从最后结果出发，一步步往前推，每一步都做相反的运算，直到求出最初数量的方法，就是“还原法”，这类问题叫“还原问题”。

（二）核心探究一：单一变量线性还原——“流程图”建模型

1.例题呈现：【基础】一个数经过下列变化：先加上6，然后乘以3，再减去8，最后除以5，结果是8。求这个数是多少？

2.策略指导：引导学生按照事情发展的顺序画出“流程图”。

原数?→[+6]→()→[×3]→()→[-8]→()→[÷5]→8

3.实施倒推：从结果8开始，沿着流程图逆向走回去，每走一步运算符号取反（加变减，减变加，乘变除，除变乘）。

8←[×5]←40←[+8]←48←[÷3]←16←[-6]←10

所以原数是10。

4.【重要】法则内化：强调“顺序相反，运算互逆”。板书口诀：“结果出发倒着走，加变减来乘变除；顺序一定要搞清，括号千万别忘瞅。”

（三）核心探究二：复杂“一半关系”还原——“线段图”破难点

1.例题呈现：【高频考点】【难点】仓库里有一批面粉，第一次运走总数的一半多10袋，第二次运走剩下的一半少5袋，最后还剩下25袋。这批面粉原来有多少袋？

2.策略升级——画线段图：此题若只用脑子想容易混乱。教师示范画图，从最后剩下的25袋开始，逆向分析。

（1）分析第二步：“第二次运走剩下的一半少5袋”，意味着如果第二次少运5袋，就正好运走了“剩下的一半”。那么运完之后，剩下的25袋就不是“剩下的一半”，而是比“一半”多了5袋。所以，在第二次运之前（即第一次运之后剩下的），应该是(25-5)×2=40袋。这里需要引导学生深刻理解：为什么是减5而不是加5？因为“少运5袋”意味着剩下的就多了5袋，要还原到之前的状态，必须把这5袋扣掉才能找到准确的一半。

（2）分析第一步：“第一次运走总数的一半多10袋”，意思是如果第一次少运10袋，就正好运走了总数的一半。那么运完之后剩下的40袋，就应该是总数的一半少10袋。换言之，总数的一半是40+10=50袋。所以原来总数是50×2=100袋。

3.【重要】易错点警示：在处理“多多少”和“少多少”时，逆推过程是“逆来顺受”的难点。教师总结：“原来加，逆推减；原来减，逆推加。但对于‘一半多几’这种复合运算，要结合线段图，先处理‘多’和‘少’的调整，再处理‘一半’的翻倍。”

（四）核心探究三：多变量交换还原——“列表格”显奇效

1.例题呈现：【热点】【难点】甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干颗。如果甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给甲5颗，那么三人手中的玻璃球就一样多了，都是40颗。问他们三人原来各有多少颗？

2.策略构建——列表倒推法：

（1）确定最终状态：三人最后都是40颗。

（2）建立逆推表格（在教师引导下，由学生口述，教师板书步骤）：

变化过程

甲的数量

乙的数量

丙的数量

操作说明（逆推）

最终结果

40

40

40

已知最后状态

丙给甲5颗之前

40-5=35

40

40+5=45

逆推：丙收回给甲的5颗，甲减少5，丙增加5

乙给丙18颗之前

35

40+18=58

45-18=27

逆推：乙收回给丙的18颗，乙增加18，丙减少18

甲给乙13颗之前（原状）

35+13=48

58-13=45

27

逆推：甲收回给乙的13颗，甲增加13，乙减少13

所以，甲原有48颗，乙原有45颗，丙原有27颗。

3.【重要】思想提升：引导学生观察，无论怎么交换，总数量是不变的（40×3=120颗），可以用总和来验证结果（48+45+27=120）。这种“抓不变量”的思想是解决复杂还原问题的金钥匙。

（五）综合拓展与变式训练

1.变式一：涉及分数的还原【基础进阶】

一根绳子，第一次剪去全长的1/3，第二次剪去剩下的1/4，第三次剪去剩下的1/2，最后还剩5米。求原长。

解析：逆推。第三次剪后剩5米，是第二次剪后剩下的(1-1/2)，所以第二次剪后剩5×2=10米；这10米是第一次剪后剩下的(1-1/4)，所以第一次剪后剩10÷(3/4)=40/3米；这40/3米是全长的(1-1/3)，所以全长为(40/3)÷(2/3)=20米。

2.变式二：逻辑推理型还原【高阶思维】

老爷爷说：“把我的年龄加上12，再除以4，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁。”老爷爷现在多少岁？

解析：让学生独立画流程图倒推。(100÷10+15)×4-12=(10+15)×4-12=25×4-12=100-12=88岁。

五、教学评价与反馈设计

1.【当堂检测】：设计三道梯度题。

（1）【基础】一个数加上7，乘以7，减去7，除以7，结果还是7。这个数是（）。

（2）【重要】妈妈买来一筐苹果，第一天吃了这些苹果的一半多一个，第二天吃了剩下的一半多一个，第三天又吃了剩下的一半多一个，最后还剩2个。妈妈一共买了多少个苹果？（此题从最后一天倒推，第三天吃之前有(2+1)×2=6个；第二天吃之前有(6+1)×2=14个；第一天吃之前（总数）有(14+1)×2=30个。）

（3）【难点】书架分上中下三层，一共放了192本书。先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层。这时三层本数相同。原来上中下层各有多少本书？

解析：最后三层都是64本。列表逆推。此题步骤较多，旨在考察学生列表逆推的能力。最后一步是下层给上层前：上层32，中层64，下层96（因为下层给了上层32本后自己剩64）；中层给下层前：上层32，中层112，下层48；最初（上层给中层前）：上层88，中层56，下层48。

六、板书设计核心框架

左边区域：还原问题定义与法则

中间区域：例题1流程图

右边区域：例题