小学五年级数学下册《因数与倍数》单元起始课教学设计

小学五年级数学下册《因数与倍数》单元起始课教学设计

一、指导思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，秉持“核心素养”导向的教学理念，致力于超越传统的知识点传授，转向对数学概念本质的理解与数学思想方法的渗透。因数和倍数是“数与代数”领域“数与运算”主题下的关键内容，是理解整数性质、建立数感、发展推理意识和模型意识的重要基石。

本课的理论支撑主要来源于以下三个方面：

1.建构主义学习理论：强调学习是学生在已有知识和经验基础上主动建构新意义的过程。学生对于“因数”和“倍数”并非全然陌生，它们与之前学习的乘除法、整除概念有着天然的内在联系。教学将从激活这些前概念入手，引导学生在观察、操作、比较、归纳中自主建构概念。

2.结构化教学思想：将“因数与倍数”置于整个整数理论（数论）的宏观结构中进行审视。本课作为单元起始课，旨在为学生搭建一个结构化的认知框架，明确因数和倍数是刻画两个非零自然数之间“整除关系”的一对相互依存的概念，为后续学习公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数、质数与合数等概念奠定逻辑起点。

3.深度学习理念：追求在理解的基础上，将知识进行联系与整合，并迁移至新的情境中解决问题。教学设计将避免孤立地、静态地记忆定义，而是通过多层次、多角度的活动，让学生探究概念的内涵与外延，体会其应用价值，实现从“数学知识”到“数学素养”的升华。

二、教学背景分析

（一）教材分析

本课内容选自人教版小学数学五年级下册第二单元《因数与倍数》的第一课时。该单元是小学阶段“数与代数”领域的一次重要扩充与深化，正式、系统地研究整数的内部性质。

从纵向知识脉络看，学生在此之前已经掌握了：

1.整数（自然数）的概念及四则运算。

2.除法的意义，特别是包含除和等分除。

3.对“整除”（商是整数且无余数）有丰富的感性经验（如乘法口诀的逆用、平均分物品）。

本课旨在将这些零散的、感性的经验，提炼、抽象为明确的数学概念。其后，教材将以此为基础，展开对2、5、3的倍数的特征、质数与合数、奇偶性等知识的学习。因此，本课是开启整数性质研究大门的“钥匙”，具有承上启下的核心地位。

从横向单元结构看，教材通常采用“通过算式引入概念→定义因数和倍数→找出一个数的因数/倍数→探究特征”的编排逻辑。本设计将在此基础上进行整合与深化，强化概念的产生背景与相互关联。

（二）学情分析

认知基础：五年级学生具备较强的计算能力和初步的抽象逻辑思维能力。他们能够熟练进行乘除法运算，并在解决如“将12个正方形拼成不同的长方形”等问题时，已经无意识地运用了因数的思想。然而，他们的认知存在以下特点：

1.概念模糊性：多数学生听说过“因数”、“倍数”等词，但对其数学定义、相互关系及研究范围模糊不清，易与乘数、被乘数、除法中的“除数”和“被除数”混淆。

2.思维点状化：容易孤立地看待“找一个数的因数”和“找一个数的倍数”两个任务，难以自觉地将二者视为同一整除关系的两种表述。

3.方法经验化：寻找因数和倍数时，多依赖乘法口诀进行尝试，缺乏有序、全面的思考策略。

学习心理：该年龄段学生好奇心强，乐于动手和挑战，但注意力持久性有待提高，需要富有思维张力的任务和及时的正反馈来维持学习热情。

（三）教学重点与难点

1.教学重点：理解因数和倍数的意义，掌握求一个数的因数和倍数的方法。

2.教学难点：

1.3.准确理解因数和倍数概念中的“相互依存”关系。

2.4.探究并掌握有序、不重不漏地找一个数的全部因数的方法。

3.5.理解一个数的倍数的无限性，并初步感知其集合特征。

三、教学目标

基于以上分析，确立本课的教学目标如下：

1.知识与技能

1.结合具体情境，理解因数和倍数的意义，明确因数与倍数的相互依存关系。

2.掌握求一个数的因数和倍数的方法，能有序、完整地找出一个数的全部因数和指定范围内的倍数。

3.能正确判断一个数是否是另一个数的因数或倍数。

2.过程与方法

1.经历“操作感知→算式抽象→概念定义→方法探究→应用拓展”的完整概念形成过程，发展抽象概括和归纳推理能力。

2.在探索求一个数的因数和倍数的活动中，体会有序思考的重要性，培养思维的条理性和严密性。

3.通过观察、比较、交流，发现一个数的因数、倍数的基本特征，发展初步的探究能力。

3.情感、态度与价值观

1.在探索数学概念的过程中，体验数学思考的条理性和严谨性，感受数学的内在魅力。

2.在合作交流中，学会倾听、质疑与表达，获得积极的情感体验。

3.体会因数与倍数知识与现实生活的联系，激发学习兴趣，建立学好数学的信心。

核心素养发展指向：

1.数感：通过具体操作与计算，增强对数的构成与关系的感知。

2.推理意识：在概括概念、探索方法、发现特征的过程中进行合情推理。

3.模型意识：初步建立用“整除关系”模型（a÷b=c，a、b、c为非零自然数）来刻画两个数之间特定联系的意识。

四、教学策略与准备

教学策略：

1.情境-问题驱动：创设“用固定数量小正方形拼长方形”的真实操作情境，引发认知冲突，驱动学生主动探究“为什么有的数量只能拼出一种长方形，而有的可以拼出多种？”，将问题自然引向对数的内在性质的思考。

2.操作-表征迁移：遵循“具体（实物拼摆）→表象（图形想象）→抽象（算式表达）→符号（文字定义）”的认知路径，帮助学生实现思维的飞跃。

3.对比-结构化建构：始终将“因数”与“倍数”进行对比呈现，强调它们是从不同角度描述同一关系。利用集合图、列表等工具，将零散的知识点结构化、可视化。

4.探究-合作学习：在寻找因数和倍数的关键环节，设计有层次的探究任务，鼓励学生独立思考后小组合作，在交流中碰撞思维，优化方法。

教学准备：

1.教师准备：多媒体课件、学习单、数字卡片（1-30）、板书设计模版。

2.学生准备：每人12个完全相同的小正方形（可用方格纸代替）、练习本。

五、教学过程设计与实施（详细版）

第一环节：创设情境，孕伏概念（预计时间：8分钟）

活动一：动手操作，初探关系

1.任务发布：请同学们用手中的12个小正方形，在桌面上拼出不同的长方形（含正方形）。记录下每种长方形的“长”和“宽”分别用了几个小正方形。

2.学生操作：独立尝试拼摆并记录。教师巡视，收集典型摆法（12×1，6×2，4×3）。

3.汇报交流：

1.4.学生汇报拼法，教师课件同步呈现三种长方形图示。

2.5.提问：“这三种长方形的形状不同，但都用完了12个小正方形。你能用我们学过的乘法算式来表示每种长方形所需的正方形总数吗？”

3.6.学生回答，教师板书：12=1×12，12=2×6，12=3×4。

4.7.追问：“如果我只给11个小正方形，像这样拼成整排整列的长方形，可能有哪些拼法？”（预设：只能拼成11×1一种）板书：11=1×11。

【设计意图】从操作活动入手，符合学生认知特点。将“拼长方形”转化为“用乘法算式表示总数”，建立了几何直观与算术运算的联系。通过对比12和11的不同拼法，制造认知冲突，为引出“某些数之间存在更丰富的整数乘除关系”做铺垫，使概念学习根植于实际需求。

第二环节：算式抽象，建构概念（预计时间：15分钟）

活动二：聚焦算式，提取关系

1.引导观察：指着板书的乘法算式。“在12=1×12这个等式中，1、12和12这三个数之间有什么关系？”（1和12乘起来得到12）。“在数学上，对于这样的关系，我们有新的命名。”

2.概念定义：

1.3.教师讲授：在12=3×4这样的算式中（强调是整数乘法），我们可以说：3和4都是12的因数；反过来，12是3的倍数，也是4的倍数。

2.4.板书核心句：12是3和4的倍数，3和4是12的因数。

3.5.学生复述：同桌互相指着另外两个算式（12=2×6,12=1×12），用“（）是（）的因数，（）是（）的倍数”来说一说。

4.6.巩固练习：根据“11=1×11”，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

活动三：深化理解，明确要点

1.要点一：研究的范围

1.2.提问：“我们研究因数和倍数时，所说的数一般指的是哪些数？”（预设：自然数）。教师明确并板书：研究因数和倍数时，所指的数是非零自然数。

2.3.追问：“为什么0除外？”引导学生结合乘除法的意义讨论，使其明白0的引入会使因数倍数关系变得无意义或不唯一。

4.要点二：相互依存的关系（突破难点）

1.5.情境模拟：请一位学生A起立，提问：“A同学，对于‘儿子’这个身份，你一个人能成立吗？”（不能，需要有‘父亲’或‘母亲’）。

2.6.类比迁移：“同样，‘因数’和‘倍数’这两个名称也不是单独存在的。我们不能孤立地说‘3是因数’或‘12是倍数’，必须说清楚‘谁是谁的’。它们是相互依存的一对概念。”

3.7.强化表达：进行“我说你对”游戏。教师说“12是倍数”，学生纠正；教师说“4是12的因数”，学生判断对并说出另一半“12是4的倍数”。

8.要点三：整除是纽带

1.9.引导联系：指着12÷3=4。“根据12=3×4，我们可以得到12÷3=4，而且没有余数。这种‘整数除法中商是整数且没有余数’的情况，叫做整除。”

2.10.建立模型：因数和倍数是在整除关系基础上定义的。课件动态展示：a÷b=c(a,b,c为非零自然数)→a是b和c的倍数，b和c是a的因数。

3.11.即时应用：判断“20÷4=5”，根据这个算式，你能说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？

【设计意图】本环节是概念形成的核心。通过从具体算式中“剥离”出关系，直接给出定义，简洁明了。通过三个“要点”的探讨，深化对概念内涵的理解。特别是利用生活化的类比化解“相互依存”这一抽象关系，利用整除算式架起乘除法之间的桥梁，使学生理解概念的本质是描述一种特定的整数除尽关系。

第三环节：探索方法，发现特征（预计时间：20分钟）

活动四：如何找一个数的全部因数？

1.任务驱动：我们已经知道3和4是12的因数，12还有别的因数吗？怎样才能有序、不重复、不遗漏地找出12的所有因数？

2.独立探究：学生独立思考，在练习本上尝试找出12的所有因数。教师巡视，发现不同的方法（无序乱找、从1开始成对找、利用除法找）。

3.小组交流：在小组内分享自己的方法，比较谁的方-法既快又全。

4.集体优化：

1.5.展示无序找到的方法，指出其易错漏。

2.6.展示“成对找”的方法：从1开始，1×12=12，找到1和12；2×6=12，找到2和6；3×4=12，找到3和4；接下来试4，因为已经出现（重复），停止。教师板书呈现过程，并引导学生用集合图或列举法（按从小到大顺序：1,2,3,4,6,12）清晰地表示出来。

3.7.展示“除法找”的方法：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3（重复）。比较两种方法，本质相同，都是“整除”思想的运用。

4.8.归纳方法：找一个数的因数，可以从1开始，一对一对地找，直到相邻的两个因数相等或接近为止。通常按从小到大的顺序排列。

9.对比发现：

1.10.让学生找出16和11的所有因数。

2.11.观察12、16、11的因数，你有什么发现？

3.12.引导发现：一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。像11这样只有1和它本身两个因数的数，我们将在后续课程中深入探究（质数）。

活动五：如何找一个数的倍数？

1.迁移尝试：2的倍数有哪些？你是怎么找的？

2.学生汇报：预设：用2依次乘1，2，3，4……即2，4，6，8……

3.方法提炼：找一个数的倍数，只要用这个数依次乘非零自然数1，2，3，4……即可。

4.无限性的体验（突破难点）：

1.5.提问：能写完2的倍数吗？为什么？（写不完，因为自然数是无限的）

2.6.课件动态演示：2的倍数可以无限延伸。我们用“……”表示。

3.7.提问：如何表示2的倍数集合？介绍列举法（前几个加省略号）和集合图法。

8.对比发现：

1.9.让学生找出3的倍数（前5个）。

2.10.观察2、3的倍数，你有什么发现？

3.11.引导发现：一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。

【设计意图】本环节将概念学习推向深入，聚焦于操作性的方法论。寻找因数时，将“有序思考”这一重要的数学思想作为显性目标，通过对比、优化，让学生亲身经历从“无序”到“有序”的思维提升过程。寻找倍数时，则巧妙利用知识的正迁移，并着重引导学生体验“无限”这一抽象概念，用直观的方式帮助学生理解。最后的对比发现，促使学生从具体案例中归纳出一般特征，发展推理和概括能力。

第四环节：分层应用，巩固拓展（预计时间：12分钟）

基础练习（巩固概念）

1.判断说理：

1.2.因为36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。（）

2.3.12的倍数只有24，36，48。（）

3.4.1是所有非零自然数的因数。（）

4.5.8的因数有无数个。（）

（要求判断后说明理由，深化理解）

6.找一找：在数字卡片中，找出（1）18的因数；（2）7的倍数（30以内）。

综合应用（联系生活）

1.排队问题：五一班有24名同学参加广播操比赛，要求每行人数相同，可以排成几行？每行几人？（将所有排法写出来）这实际上是在找24的哪些数？

2.包装问题：一种糖果有30颗，需要用袋子分装。如果每袋颗数相同且大于1颗，可以怎么装？哪种装法用的袋子最少？

拓展延伸（孕伏思想）

1.“完美数”之谜：介绍古希腊人发现的“完美数”。一个数如果恰好等于它本身之外的所有因数之和，这个数就叫“完美数”。例如：6的因数有1,2,3,6。1+2+3=6。6就是最小的完美数。你能试着找找看下一个完美数吗？（28）激发学生对数论奥秘的兴趣。

2.沟通联系：引导学生用今天的知识，重新审视乘法口诀表。例如，在“三七二十一”这句口诀中，蕴含了哪些因数和倍数的关系？

【设计意图】练习设计体现层次性、趣味性和思维性。基础练习旨在辨析概念，查漏补缺。综合应用将数学与现实问题对接，让学生体会知识的应用价值。拓展延伸则打开一扇窗，让学生窥见数学的浩瀚与美妙，将课堂学习延伸到课外，实现“课虽止，思未停”。

第五环节：回顾反思，结构化总结（预计时间：5分钟）

1.回顾历程：通过今天的学习，你认识了哪两个新的数学朋友？我们是如何认识它们的？（从拼长方形→列乘法算式→下定义→找方法→发现特点）

2.构建网络：师生共同完成板书的结构化梳理。

1.3.中心：整除关系（a÷b=c）

2.4.分支一：因数

1.3.5.意义：b和c是a的因数。

2.4.6.找法：从1开始，成对找。

3.5.7.特征：个数有限，最小1，最大本身。

6.8.分支二：倍数

1.7.9.意义：a是b和c的倍数。

2.8.10.找法：乘非零自然数。

3.9.11.特征：个数无限，最小本身，无最大。

10.12.关系：相互依存

13.自我评价：今天你的表现如何？你对“因数”和“倍数”的理解打几分？还有什么疑惑？

14.布置作业：

1.15.必做：完成教材练习二第1、2、3题。

2.16.选做/实践：（1）寻找生活中的“因数与倍数”现象，记录下来。（2）探究100以内哪个数的因数最多？（“因数之王”）

【设计意图】通过回顾学习路径，强化过程体验。构建概念网络图，将零散知识系统化、结构化，帮助学生形成良好的认知图式。开放式的总结和分层作业，尊重学生差异，促进可持续发展。

六、板书设计（结构化图示）

因数与倍数

来源：整除关系a÷b=c

(a,b,c为非零自然数)

┌─────────────────┐

│相互依存│

└────────┬────────┘

│

┌─────────┴──────────┐

▼▼

**因数****倍数**

（b和c是a的因数）（a是b和c的倍数）

││

├─**找法**：├─**找法**：

│从1开始，成对找│乘1,2,3,4……

│（除法/乘法）│

├─**特征**：├─**特征**：

│个数：有限│个数：无限

│最小：1│最小：本身

│最大：本身│最大：无

└──────────────┘└──────────────┘

例证区：

12=1×12=2×6=3×4

12的因数：｛1,2,3,4,6,12｝

2的倍数：2,4,6,8,10,…

七、教学特色与创新反思

特色与创新：

1.大概念统整：以“计数单位的累加与细分”这一更上位的数学思想为隐线。拼