聚焦核心素养：分数与除法关系的深度探索-小学五年级数学下册导学案

聚焦核心素养：分数与除法关系的深度探索——小学五年级数学下册导学案

  一、教学设计的学理依据与整体构想

  本次教学所聚焦的“分数与除法的关系”，是小学五年级数学课程中连接“数的运算”与“数的认识”两大领域的核心枢纽。从数学发展的历史脉络看，分数的产生源于度量与分配的实际需要，本质上是除法运算在整数域不可行情况下的自然延拓。因此，理解分数与除法之间的关系，绝非仅仅记忆一个形式化的转换公式（a÷b=a/b），而是深刻把握分数作为“数”与作为“运算过程”的双重身份，完成从“等分除”的直观操作到“数”的抽象意义的认知飞跃。这直接关系到学生后续学习真分数、假分数、带分数，以及分数四则运算，乃至比、比值、比率等概念的基石是否牢固。

  基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心理念，本节课的设计旨在超越传统的技能训练模式，致力于发展学生的数感、符号意识、推理能力和模型思想。教学整体构想遵循“情境引发认知冲突—操作探究建构关联—抽象表达形成模型—解释应用深化理解—迁移反思结构化”的学习路径。我们认识到，五年级学生已具备整数除法的扎实基础，并初步建立了分数的表象认识（如几分之一、几分之几）。其认知难点在于：如何跨越“除法是过程，分数是结果”的直觉分离，将两种表征系统在心理层面进行等价联结，并理解这种关系在“被除数不是除数倍数”的普遍情况下的有效性。

  因此，本教学设计将摒弃孤立讲授关系式的做法，转而创设一个连贯的、富有挑战性的“分物”问题系列。从整除情境到非整除情境，从具体物（单个物体）到连续量（多个物体组成的整体），引导学生亲历“分”的过程，记录“分”的结果，并在此过程中自然产生对除法算式与分数结果进行对比、归纳的思维需求。教师的作用在于提供恰当的“支架”（如操作材料、记录单、关键追问），组织高效的协作对话，引导学生在观察、比较、猜想、验证的数学活动中，自主发现规律，并用准确的语言和数学符号予以表达，最终将获得的关系式纳入其已有的认知结构，实现知识的自主建构与意义生成。

  本设计高度重视数学思想方法的渗透：贯穿始终的“数形结合”思想帮助学生将抽象关系可视化；从特殊到一般的“归纳推理”思想引领学生发现普遍规律；将实际问题抽象为数学关系的“模型思想”则体现在关系式的概括与应用之中。同时，设计充分预估学生的思维多样性，准备了层次化的探究任务与巩固练习，以满足不同认知风格和学习进度的需求，确保每一位学生都能在“最近发展区”内获得实质性发展。

  二、教学目标

  （一）知识与技能

  1.结合具体情境，通过观察、操作、比较等活动，理解并掌握分数与除法的关系，能够用字母准确表示：a÷b=a/b(b≠0)。

  2.能够运用分数与除法的关系，将整数除法运算的结果用分数表示，亦能将一个分数理解为两个整数相除的商。

  3.能够解决与分数、除法相关的简单实际问题，并能解释结果的实际意义。

  （二）过程与方法

  1.经历从具体情境中抽象出分数与除法关系的全过程，发展观察、操作、归纳、概括和推理能力。

  2.在探索活动中，体验“数形结合”、“归纳推理”等数学思想方法，提升数学思维品质。

  3.学会在小组合作中清晰表达自己的思考过程，并能对他人的观点进行有理有据的评价与补充。

  （三）情感态度与价值观

  1.在探索数学内在联系的过程中，感受数学知识的连贯性与逻辑美，增强学习数学的兴趣和自信心。

  2.体会数学源于生活又应用于生活的价值，培养严谨求实的科学态度和主动探究的精神。

  三、教学重难点

  （一）教学重点：理解并掌握分数与除法的关系。

  （二）教学难点：理解分数作为除法的结果，其双重含义（既可表示具体数量，也可表示两个量之间的关系）；理解关系式中分母不能为0的数学规定。

  四、教学准备

  （一）教师准备：多媒体课件（含问题情境动画、探究活动指引、关键结论归纳、分层练习等）；实物展示台。

  （二）学生准备：每小组一套学具（包括：3张完全相同的圆形纸片代表月饼，一把安全剪刀，一套用于代表“1米”的彩纸条（可等分），记录单）；个人练习本。

  五、教学过程

  （一）第一环节：创设情境，孕伏关联，引发认知冲突(预计时间：8分钟)

  师：（课件出示中秋节分月饼的温馨场景）同学们，中秋节刚过去不久，分月饼的温馨场面还历历在目吧。今天，我们就从数学的角度来研究“分”的学问。首先，我们来解决一个简单的问题。

  【情境一：整除铺垫】

  课件呈现：把1块月饼平均分给2个小朋友，每人分得多少块？

  师：这个问题谁能解决？请列出算式并说出结果。

  生：1÷2=0.5（块）。（教师板书）

  师：非常好，这是我们之前学过的除法。还可以怎么表示这个结果？

  生：每人分得半块，也就是二分之一块。

  师：没错，用分数表示就是1/2块。（板书：1/2块）看，同一个分配问题，我们既可以用小数表示结果，也可以用分数表示结果。这里，1÷2的商和1/2都表示每人分得的数量，它们是相等的。1÷2=1/2。

  【情境二：冲突激发】

  课件呈现：现在，如果把3块完全一样的月饼，平均分给4个小朋友，每人分得多少块？请大家先独立思考，可以尝试用手中的圆片（月饼）摆一摆、分一分，把你的想法在小组内交流。

  （学生活动：有的学生尝试将每个月饼都分成4份，然后每人从每个月饼中取1份，得到3个1/4块；有的学生尝试将3个月饼叠在一起，想象平均分成4大份……教师巡视，收集不同的分法和想法。）

  师：哪位同学代表小组来分享一下你们的方法和结论？

  生1：我们组是一个月饼一个月饼地分。先把第一个月饼平均分成4份，每人拿1份，就是1/4块；再把第二个月饼也平均分成4份，每人再拿1/4块；第三个同样，每人再拿1/4块。这样，每人一共拿了3个1/4块，就是3/4块。

  生2：我们组是先把3个月饼叠在一起看成一个整体，然后平均分成4份，每人得到其中的1份。这一份就是3个月饼的1/4。我们发现，这一份展开来正好也是3个1/4块的小块拼成的，所以也是3/4块。

  师：两种分法都非常有道理，都得到了同样的结果：每人分得3/4块。（板书：3/4块）那么，如果要用一个除法算式来表示这个“平均分”的过程，该怎么列式呢？

  生：把3块月饼平均分给4个人，就是3÷4。

  师：完全正确。（板书：3÷4）那么，3÷4的商是多少呢？

  （学生可能迟疑，因为整数除法中3除以4不够商1，商0余3，无法得到整数商。而之前学过的小数表示，3÷4=0.75，但0.75块与3/4块如何直观联系？这恰恰是认知冲突点。）

  师：我们发现，3÷4在整数范围内找不到一个整数来表示结果，但通过刚才的分一分，我们却得到了一个非常清晰的分数结果：3/4。这不禁让我们思考：3÷4和3/4之间，存在着怎样的关系呢？这就是我们今天要深入探究的核心问题——分数与除法的关系。

  （设计意图：本环节从学生熟悉的“分物”情境出发，先复习整除情境下的不同表示，为后续做铺垫。然后迅速切换到“除不尽”的非整除情境，这是学生已有知识（整数除法）无法直接解决的矛盾点。通过动手操作，学生能直观得到分数结果，但如何与除法算式建立联系成为悬疑。这一认知冲突的制造，极大地激发了学生的探究欲望，明确了本课的学习目标，实现了“课伊始，趣亦生；疑已设，思欲行”。）

  （二）第二环节：操作探究，多维表征，构建关系模型(预计时间：20分钟)

  师：刚才我们用分月饼的例子，看到了3÷4可能等于3/4。这是一个巧合，还是一个普遍的规律呢？让我们通过更系统的探究来寻找答案。请大家以小组为单位，完成下面的探究活动。

  【探究活动一：分“单物”（被除数<除数）】

  任务：利用圆形纸片（代表单个物体，如蛋糕、饼等），完成以下分物操作，并用算式和分数记录结果。

  1.把1个蛋糕平均分给3个人，每人分得（）个。算式：______分数表示：______

  2.把2张相同的饼平均分给5个小朋友，每人分得（）张。算式：______分数表示：______

  （学生小组合作，动手操作。对于任务2，学生需要将两张饼分别五等分，每人从每张饼取1/5张，共得2个1/5张，即2/5张。教师深入小组，引导学生清晰表达操作过程和思考逻辑，并规范记录。）

  小组汇报后，教师引导观察板书：

  1÷3=1/3

  2÷5=2/5

  3÷4=3/4（从上一环节迁移过来）

  师：请大家仔细观察这三组等式，它们有什么共同的特点？先独立思考，再和同伴说一说。

  （学生观察、讨论。教师引导关注：等式的左边是什么运算？右边是什么数？左边的被除数、除数与右边的分数的分子、分母有什么对应关系？）

  生：我发现，等号左边都是除法算式，等号右边都是分数。而且，被除数变成了分数的分子，除数变成了分数的分母。

  师：这个发现太棒了！也就是说，在这些“把一个或几个物体平均分成若干份”的问题中，除法算式的商，可以直接用“被除数作分子，除数作分母”的分数来表示。我们可以大胆猜想：在平均分的情况下，a÷b=a/b。

  【探究活动二：分“连续量”（被除数≥除数）】

  师：我们的猜想是否总是成立呢？如果分的不是一个个离散的物体，而是像长度、质量这样的连续量，或者被除数大于除数时，情况又如何？我们来挑战下一个任务。

  任务：利用长度为“1米”的彩条，完成以下操作与推理。

  1.把3米长的绳子平均分成4段，每段长多少米？先用除法算式表示，再用分数表示。

  （学生思考：这是求每份的数量，用总量除以份数，列式：3÷4。如何得到分数结果？可以想象把3米平均分成4份，每份是3个1米的1/4，也就是3/4米。教师可用课件动画演示将3个“1米”线段依次平分的过程。）

  2.把5米长的铁丝平均分成7段，每段长多少米？算式：______分数表示：______

  （学生类比得出：5÷7=5/7（米））

  师：现在我们再来看一个更有挑战性的：把7米长的彩带平均分成3段，每段长多少米？

  生：7÷3=7/3（米）。

  师：7/3米，这是一个什么样的分数？它表示什么意思？

  生：这是一个假分数，表示把7米平均分成3份，每份是7个1/3米，也就是2又1/3米。

  师：非常准确！这说明，我们的猜想即使在商大于1的情况下，也就是结果是假分数或带分数时，同样是成立的。

  【归纳与抽象】

  师：经历了从分“单个物体”到分“连续量”，从“被除数小于除数”到“被除数大于等于除数”的各种情况，我们的猜想都得到了验证。现在，我们可以得出一个更确定的结论了。谁能用最概括的语言说一说？

  生：在平均分的情况下，一个除法算式的商，可以用一个分数来表示，这个分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。

  师：总结得非常精炼。在数学上，我们通常用字母来表示这种普遍关系。如果用a表示被除数，b表示除数，那么a除以b等于多少呢？（引导学生齐答）但这里有一个非常重要的前提，大家还记得除法中关于除数的规定吗？

  生：除数不能为0！

  师：对！因为把一些物体平均分成0份是没有意义的，所以在分数中，分母也相当于除数，因此……

  生：分母也不能为0！

  师：太棒了！所以我们完整的结论是：（教师板书核心关系式）

  a÷b=a/b(b≠0)

  师：请大家齐读这个关系式，并特别注意b≠0这个条件。现在，谁能结合我们分月饼、分米的活动，解释一下这个关系式中每个部分的含义？

  生：a表示被分的总数（如月饼的总块数、绳子的总米数），b表示平均分成的份数（如人数、段数），a/b表示每份的数量。分数线“—”就相当于除号“÷”。

  师：解释得清晰透彻。这个关系式就像一座桥梁，把除法和分数这两个我们之前分开学习的知识领域，紧密地联系在了一起。它告诉我们，分数不仅可以表示一个具体的数量（如3/4块），还可以表示两个数相除的商。

  （设计意图：本环节是突破重难点的核心。通过两个层次递进的探究活动，从“分单物”到“分连续量”，从“被除数<除数”到“被除数≥除数”，不断变换情境，在丰富的实例中让学生积累感性经验。教师引导学生从具体算式中观察、比较、归纳，逐步抽象出共性的规律，并鼓励学生用语言进行初步概括。最后，通过字母表达式实现数学模型的抽象化与一般化，并强调分母不为0的算理，使结论既完整又严谨。整个过程体现了“具体—表象—抽象”的完整认知建构过程。）

  （三）第三环节：分层应用，深化理解，促进意义建构(预计时间：10分钟)

  师：发现了规律，我们就要学会应用它。下面我们进行闯关练习，看看大家是否真正理解了分数与除法的关系。

  【基础应用关】

  1.填一填。

  7÷13=()/()()÷()=5/8

  n÷m=()(m≠0)9/17=()÷()

  （重点反馈后两题，强化字母表达式和分数化为除法的逆向思维。）

  2.在括号里填上适当的分数。

  9cm=()dm（单位换算，本质是9÷10）

  23分=()时（本质是23÷60）

  师：单位换算时，我们实际上是在进行除法运算，结果用分数表示往往更简洁、更精确。

  【辨析理解关】

  3.判断对错，并说明理由。

  （1）把4千克糖平均分成5份，每份是1/5千克。（）

  （学生易错点：混淆“每份是总量的几分之几”与“每份的具体数量”。此题每份是4/5千克，1/5是每份占总量的分率。教师需引导学生明确：关系式a÷b=a/b中，当a是带单位的具体数量时，a/b也带有相同的单位，表示具体的量；若求分率，则需将总量看作单位“1”，即1÷b=1/b。）

  （2）因为被除数相当于分子，所以被除数和分子都不能为0。（）

  （强调被除数可以为0，即0÷b=0/b=0，但除数（分母）不能为0。）

  【综合运用关】

  4.解决实际问题：一盒巧克力有12块，平均分给4个同学。

  （1）每人分得几盒？（2）每人分得多少块？

  师：请仔细读题，这两个问题一样吗？分别怎样解答？它们之间有什么联系？

  （引导学生区分：问题（1）求的是“部分与整体的关系”，将1盒看作单位“1”，1÷4=1/4（盒）；问题（2）求的是具体的数量，12÷4=3（块）。而1/4盒正是3块，从不同角度描述了同一事实。此题旨在深化学生对分数“量”与“率”双重意义的理解，并展示分数与除法关系的灵活应用。）

  （设计意图：练习设计遵循“巩固基础—辨析明理—综合应用”的梯度。基础关直接运用关系式进行正向与逆向转换，形成技能。辨析关针对学生最容易混淆的“量”与“率”以及“0”的问题进行深度辨析，通过说理巩固对关系本质的理解。综合关则设置真实情境，引导学生审慎区分问题的指向，灵活运用所学知识解决问题，并体会分数不同含义之间的联系，实现知识的融会贯通。）

  （四）第四环节：反思梳理，拓展延伸，构建知识网络(预计时间：7分钟)

  师：同学们，今天的探索之旅即将结束。让我们一起来梳理一下本节课的收获。

  【反思梳理】

  师：通过这节课的学习，你最大的收获是什么？你还有什么疑问？

  （引导学生从知识、方法、感受等多方面进行反思。可能的收获：知道了分数与除法的关系式；明白了分数可以表示除法的商；学会了用分数表示除不尽时的结果等。可能的疑问：是不是所有的除法都可以写成分数形式？分数与除法的完全一样吗？）

  师：大家的问题很有价值。分数与除法有着密切的联系，但它们并不是完全相同的概念。除法是一种运算，它有“除以”、“除”、“商”等操作性的术语；而分数首先是一个数，是数系中的一个成员，它可以表示运算的结果（商），也可以表示两个量的比。它们的关系是“紧密相连”但“各有身份”。

  【构建网络】

  师：现在，请你在你的练习本上，试着画一个简单的知识图，把“分数”和“除法”用你认为合适的方式联系起来，并标注出它们的关系式。

  （学生绘制，教师选取有代表性的进行展示。教师最后用课件呈现一个简要的知识结构图：中心是“平均分”，向左引出“除法运算（a÷b）”，向右引出“分数表示（a/b）”，中间用等号连接，并注明b≠0。强调“平均分”是沟通二者的现实基础。）

  【拓展延伸】

  师：最后，给大家留下一个有趣的思考题（作为课后探究选做）：

  小明说：“4÷3等于4/3，也就是1又1/3。”小红说：“那4÷3是不是也等于8/6、等于12/9呢？”小红说得有道理吗？为什么？这又说明了分数的什么性质？

  （此问题将本节课的知识与后续要学习的“分数的基本性质”巧妙地联系起来，为学生埋下继续探究的种子，体现知识的连续性和发展性。）

  （设计意图：本环节是学习的升华阶段。通过反思，帮助学生将零散的知识点系统化、结构化，并鼓励提出深层次问题，培养批判性思维。构建知识网络的活动，促使学生从整体上把握知识的关联，形成良好的认知结构。拓展延伸问题既是对本课内容的深化应用，又为后续学习铺垫，使教学形成一个开放的、可持续的闭环。）

  六、板书设计

  （左侧）（中部核心区）（右侧）

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  情境与探究分数与除法的关系要点与提示

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  1块饼→2人1÷2=1/2(块)关系式：

  3块饼→4人3÷4=3/4(块)a÷b=a/b

  1个蛋糕→3人1÷3=1/3(个)(b≠0)

  2张饼→5人2÷5=2/5(张)

  3米绳→4段3÷4=3/4(米)发现：

  5米铁丝→7段5÷7=5/7(米)被除数→分子

  7米彩带→3段7÷3=7/3(米)除数→分母

  除号→分数线

  注意：