全概率公式课件高二下学期数学人教A版选择性

7.1.2全概率公式

第七章随机变量及其分布高二数学备课组2026/5/207.1条件概率与全概率公式1.条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即由条件概率公式可得2.概率的乘法公式：在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.3.概率的加法公式：如事件B，C互斥，则有下面，再看一个求复杂事件概率的问题.问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?

分析：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是

.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.

用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.如图示，那么事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2.问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)利用概率的加法公式和乘法公式，得问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.

问题2：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并,根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？

加法公式A1∪A2∪…∪An=ΩB=ΩB=(A1∪A2∪…∪An)BB=BA1∪BA2∪…∪BAnP(B)=

P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)

乘法公式=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)对结论的理解：某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B由原因Ai(i=1,2)(Ai

互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2)发生概率的总和.1.全概率公式：

一般地，设A1,A2,···，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2，，n，则对任意的事件B⊆Ω，有我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.①A1,A2,···，An两两互斥运用条件：②A1∪A2∪…∪An=Ω③P(Ai)>0，i=1,2，，n，B⊆Ω.（1）若P(A)>0，

P(A)>0，则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).()（2）若事件A1,A2,A3互斥且P(Ai)>0，i=1,2,3，则P(B)=.()√×判断正误：一般地，设A1,A2,···，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2，，n，则对任意的事件B⊆Ω，有

·····

·····

对公式的理解：某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai

互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和.

可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”.关键找先发生原因

由全概率公式可知

P(B

|A)=P(A)=P(B

|)=P(

)=

例2某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.

设A1＝“第1天去A餐厅”,B1＝“第1天取B餐厅”,A2＝“第2天去A餐厅”,则解：

设事件

写概率

代公式

P(A2|A1)=0.6P(A1)=0.5P(A2|B1)=0.8P(B1

)=0.5

A1B1

1.画图：确定原因事件A1,A2,…,An

，结果事件B画出“树状图”或“韦恩图”；3.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),及每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))；4.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).2.利用全概率公式求复杂事件的概率的一般步骤：P(A1)，P(A2)……P(An)P(B|A1),P(B|A2)…..P(B|An)2.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An

看作导致结果的若干个原因.全概率数学知识1、全概率公式2、运用全概率公式数学方法1、几何图表:实际问题直观化2、化整为零:复杂问题简单化数学思想1、数形结合:样本空间图形化2、化归转化:目标事件分解化

笛卡尔在《方法论》一书中指出对于复杂的问题，尽量分解为多个小问题来研究，一个一个解决，直至解决复杂问题，这就是化整为零的思想以及分析技巧。引入”化整为零“思维，把整体分割成部分，逐个击破.解：课本52页1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.

设A＝“选到有思路的题”,B＝“选到的题做对”,则由全概率公式,可得

设事件

写概率

代公式

代公式

例3有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设Ai=“零件为第i台车床加工”，i(i＝1，2，3),B=“任取一零件为次品”，如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.A1A2A3A3BA1BA2B

例3有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.

设B＝“任取一个零件为次品”,Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1,2,3),则解：

设事件

写概率

代公式

例3有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.

“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1,2,3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率，即(2)

思考例5中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么?P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率，当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.（选学内容，不作考试要求）3.贝叶斯公式：例4在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.解：例4在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.解：1.求结果事件B的概率：利用全概率公式求结果事件B的概率P(B)；3.求概率P(Ai|B)：利用贝叶斯公式；4.利用贝叶斯公式求概率的步骤：2.计算P(AiB)：P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai);小结：求某个结果的概率已知各个原因第一阶段：第二阶段：全概率公式随机试验已知某个