小学数学第八章　作业36　直线与平面垂直的性质定理

作业36直线与平面垂直的性质定理分值：100分单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行2.直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线A.只有一条 B.有无数条C.是平面内的所有直线 D.不存在3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为A.1 B.2C.22 D.234.(多选)设l，m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列四个命题中错误的是A.若l⊥α，且m⊥α，则l∥mB.若l∥α，m∥α，则l∥mC.若l∥α，且l∥m，则m∥αD.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β5.△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2cm，3cm，4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为A.1cm B.2cmC.3cm D.4cm6.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为A.27 B.7C.19 D.57.(多选)如图，等边△ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，使点B到达点B'的位置，则下列结论正确的是A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'CB.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为3C.当∠B'DC=60°时，点A到B'C的距离为15D.当∠B'DC=90°时，点C到平面ADB'的距离为18.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3cm，2cm，则线段AB与平面α所成角的大小是.

9.如图，在三棱锥S-ABC中，AS，AB，AC两两垂直，且AS=AB=AC=22，点E，F分别是棱AS，BS的中点，点G是棱SC上靠近点C的四等分点，则空间几何体EFG-ABC的体积为.

10.(10分)如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.11.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在的平面，那么A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC12.(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点.下列结论中正确的是A.BC⊥PCB.OM∥平面PACC.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的113.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为.

14.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，EB=EC=ED，CF∥EA，AB=2，CF=3.(1)求证：EA⊥平面ABCD；(6分)(2)求三棱锥F-ECB的体积.(6分)15.(15分)如图①，在矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图②)，连接AP，PF，其中PF=25.(1)求证：PF⊥平面ABED；(7分)(2)求点A到平面PBE的距离.(8分)答案精析1.B2.B3.B4.BCD5.C6.A[如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2=PC2+CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC=4，BC=43，因为AB=8，故CM的最小值为AC·BCAB=23，又PC=4则PM的最小值为42+(23)7.ACD[因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'=D，DC，DB'⊂平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为13×12×12×12×32=348，故B错误；当∠B'DC=60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE则AE⊥B'C，即AE的长为点A到B'C的距离，AE=322+故C正确；当∠B'DC=90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，AD∩DB'=D，AD，DB'⊂平面ADB'，故CD⊥平面ADB'，则CD的长就是点C到平面ADB'的距离，CD=12，故D正确.8.30°9.13解析过点G作GH∥AC，交SA于点H，则GHAC=SGSC=34，于是GH=34由AC⊥AB，AC⊥AS，AB∩AS=A，AB，AS⊂平面SAB，得AC⊥平面SAB，则GH⊥平面SAB，由E，F分别为AS，BS的中点，得S△SEF=14S△SAB=14×12×(22)因此V三棱锥G-SEF=13S△SEF=13×1×322又V三棱锥C-SAB=13S△SAB=13×12×(22)3=所以V几何体EFG-ABC=V三棱锥C-SAB-V三棱锥G-SEF=823-2210.证明因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又因为a⊥AB，AB∩EB=B，AB，EB⊂平面ABE，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因为EA∩EB=E，EA，EB⊂平面ABE，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.11.C[因为PM⊥平面ABC，MC，AB⊂平面ABC，所以PM⊥MC，PM⊥AB.又因为M为AB的中点，∠ACB=90°，所以MA=MB=MC，则△PMA≌△PMB≌△PMC，所以PA=PB=PC.]12.ABC[对于A，∵直线PA垂直于圆O所在的平面，∴PA⊥BC.∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，A正确；对于B，∵点M为线段PB的中点，点O为直径AB的中点，∴OM∥PA.又PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC，B正确；对于C，∵BC⊥平面PAC，∴点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，C正确；对于D，∵点M为线段PB的中点，∴点M到平面PAC的距离是点B到平面PAC距离的12∴VM-PAC=12VB-PAC又VB-PAC=VP-ABC，∴VM-PAC=12VP-ABC，D不正确.13.1解析如图，连接AC交BD于点O，连接OE.在△CC1A中，∵O为AC的中点，E为CC1的中点，∴OE∥AC1.又OE⊂平面BED，AC1⊄平面BED，∴AC1∥平面BED，∴直线AC1到平面BED的距离为点A到平面BED的距离.连接AE，V三棱锥E-ABD=13S△ABD·EC=13×12×2×2×2在△BED中，BD=22，BE=6，DE=6，∴S△BED=12×22×(6)设点A到平面BED的距离为h，由V三棱锥A-BED=V三棱锥E-ABD，得13×22×h=223，解得故直线AC1到平面BED的距离为1.14.(1)证明在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC的中点为M，连接ME，AM，如图所示.因为M为BC的中点，所以BC⊥AM.因为EB=EC，所以BC⊥ME，又AM∩ME=M，AM，ME⊂平面MAE，所以BC⊥平面MAE，又EA⊂平面MAE，所以BC⊥EA.同理可得CD⊥EA.因为BC∩CD=C，BC，CD⊂平面ABCD，所以EA⊥平面ABCD.(2)解由(1)得EA⊥平面ABCD，因为CF∥EA，所以CF⊥平面ABCD.因为AM，BC⊂平面ABCD，所以CF⊥AM，CF⊥BC.又BC⊥AM，CF∩BC=C，CF，BC⊂平面FCB，所以AM⊥平面FCB.由题意易得AM=3，又CF∥EA，CF⊂平面FCB，AE⊄平面FCB，所以AE∥平面FCB，所以点E到平面FCB的距离等于点A到平面FCB的距离，即AM的长.故V三棱锥F-ECB=V三棱锥E-FCB=13S△FCB·AM=13×12×3×2×315.(1)证明连接EF(图略)，由题意知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF.易得EF=62+(12-3-4)在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，所以PF⊥EF.又BF∩EF=F，