小学数学第九章　§9.2　9.2.4　总体离散程度的估计

9.2.4总体离散程度的估计学习目标1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度.2.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.3.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.一、方差、标准差问题1假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数.我们可以怎样刻画这组数据的离散程度？问题2如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，那么总体方差和总体标准差该如何求？问题3方差、标准差与数据的离散程度或波动幅度有怎样的关系？知识梳理1.假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数为x=，方差为，标准差为.

2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则称S2=为总体方差，S=为总体标准差.

3.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=.

4.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2=为样本方差，s=为样本标准差.

例1甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.反思感悟(1)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.(2)在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.跟踪训练1某餐厅推出了以下两种套餐.A套餐(在下列食品中6选2)西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司.中式面点：豆包、桂花糕.B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合.某一周两种套餐的日销售量(单位：份)如表所示.星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日A套餐11121418221923B套餐6131515372041根据上面一周的销量，分别计算A套餐和B套餐销量的平均数和方差，并根据所得数据评价两种套餐的销售情况.二、方差、标准差与统计图表的综合应用例2对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1跟踪训练2如图是小王与小张两人参加某射击比赛预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为xA和xB，方差分别为sA2和sA.xA<xB，sA2>sB2 B.xC.xA>xB，sA2>sB2 D.x三、分层随机抽样的方差问题4分层随机抽样的方差如何计算？知识梳理在比例分配的分层随机抽样中，假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2.则x=1mm∑i=1xi，s2=1mm∑i=1(xi-x)2，y=1nn∑j=1yj，若记总样本平均数为a，总样本方差为b2，则可以算出a=1m+n(m∑i=1xi+nb2=m[=1m例3在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.(1)求抽取的总样本的平均数；(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.参考公式：总体分为2层，按比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为n1，x，s12，n2，y，s22.记总样本的平均数为ω，样本方差为s2，s2=1n1+n2{n1[s12+(x-ω)2]+n2跟踪训练3在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出其值；若不能，请说明理由.四、方差、标准差的综合计算例4已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为s2=2，则样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为()A.2 B.8C.18 D.20跟踪训练4若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为()A.8 B.15C.16 D.321.知识清单：(1)方差、标准差的计算与应用.(2)分层随机抽样的方差与标准差.2.方法归纳：数据统计、数据分析法.3.常见误区：方差、标准差易混淆.1.下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是()A.极差 B.平均数C.方差 D.标准差2.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入表格：班级参加人数中位数方差平均数甲55149291135乙55151272135某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是()A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数3.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为()A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s14.样本101，98，102，100，99的标准差s=.

答案精析问题1用这组数据与x的“平均距离”1nn∑i=1|xi-问题2S2=1NN∑i=1(Yi-Y)2为总体方差，S问题3标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.知识梳理1.x1+x2+…+xnn2.1NN∑i=1(Yi-Y3.1Nk∑i=1fi(Yi4.1nn∑i=1(yi-y例1解(1)x甲=16×(99+100+98+100+100+103)x乙=16×(99+100+102+99+100+100)s甲2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]s乙2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2(2)因为两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s甲2>s跟踪训练1解A套餐销量的平均数xA=17×(11+12+14+18+22+19+23)方差sA2=17×(62+52+32+12+52+22+62)B套餐销量的平均数xB=17×(6+13+15+15+37+20+41)方差sB2=17×(152+82+62+62+162+12+202)因为xA<xB，sA所以该周A套餐比B套餐平均销量低，但A套餐的销量比B套餐相对稳定.例2C跟踪训练2C问题4对于按比例分配的分层随机抽样的样本数据，设样本量为n，平均数为x，若总体分为两层，两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2，方差分别为s1s2=n1ns知识梳理mx例3解(1)设在男生、女生中分别抽取n1名和n2名，则n1900=n2解得n1=60，n2=40.记抽取的总样本的平均数为ω，根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得ω=60100×13.2+40100×15=14(cm).所以抽取的总样本的平均数为14cm.(2)男生样本的平均数为x=13.2cm，样本方差为s12=13.女生样本的平均数为y=15.2cm，样本方差为s22=17.由(1)知，总样本的平均数为ω=14cm.记总样本方差为s2，则s2=1100{60×[13.36+(13.2-14)2]+40×[17.56+(15.2-14)2]}=16所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为