7 导数的应用说课稿2025学年北师大版2019选择性必修 第二册-北师大版2019

7导数的应用说课稿2025学年北师大版2019选择性必修第二册-北师大版2019学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析一、教材分析。本节课是北师大版2019选择性必修第二册第七章“导数的应用”，是在学生掌握导数的概念与运算基础上，探究导数在函数单调性、极值与最值中的应用。教材通过实例分析，引导学生利用导数判断函数变化规律，体会数形结合思想，为解决实际问题提供方法，是导数理论的核心应用，对学生数学建模与逻辑推理能力培养起关键作用。核心素养目标二、核心素养目标。通过导数判断函数单调性、极值与最值的过程，发展逻辑推理与数学运算素养；结合实际问题建模，提升数学建模能力；通过数形结合分析导数与函数图像的关系，强化直观想象素养，体会导数在解决优化问题中的应用价值。教学难点与重点1.教学重点：利用导数判断函数单调性、极值与最值的核心方法，包括求导符号分析、临界点确定及函数值比较。例如，通过求f'(x)>0确定函数在区间(a,b)上单调递增，强调导数正负与函数变化趋势的对应关系。

2.教学难点：理解导数符号变化与极值的关系，处理复合函数求导错误，以及应用导数解决实际优化问题。例如，在求f(x)=x^3-3x^2+2的极值时，学生可能忽略f'(x)=0的解或误用二阶导数测试，导致极值点判断失误。教学资源准备四、教学资源准备。1.教材：确保每位学生备有北师大版2019选择性必修第二册教材，重点查阅第七章“导数的应用”相关内容。2.辅助材料：准备导数与函数单调性、极值关系的动态图像视频，导数符号变化对应的函数增减图表，及实际优化问题案例图片。3.实验器材：配备几何画板软件，用于动态演示函数图像与导数符号的关联，确保设备运行正常。4.教室布置：设置分组讨论区，每组配备白板，方便学生合作分析函数极值求解步骤及实际应用问题。教学过程**环节一：情境导入，激活旧知（5分钟）**

（教师走上讲台，微笑）同学们，今天我们继续学习第七章“导数的应用”。上节课我们掌握了导数的概念和基本运算，比如求f(x)=x²的导数是f'(x)=2x，对吧？现在请大家看一个实际问题：某工厂生产一种产品，其利润L（单位：万元）与产量x（单位：千件）的关系是L(x)=3x²-x³（x≥0）。当产量为多少时，利润最大？（稍作停顿，环视学生）这个问题怎么解决呢？

**学生1**：老师，我觉得可以先求利润函数的导数，看看什么时候变化趋势变化。

**教师**：很好！思路正确。那我们一起来试试。先求L'(x)——（板书：L'(x)=6x-3x²），然后令L'(x)=0，解得x=0或x=2。接下来怎么判断这两个点是最大值点呢？

**学生2**：可以看导数符号变化？比如x<0时，L'(x)=6x-3x²，x取负数的话，6x是负的，-3x²也是负的，所以L'(x)<0；0<x<2时，比如x=1，L'(1)=6-3=3>0；x>2时，比如x=3，L'(3)=18-27=-9<0。所以x=2时导数由正变负，应该是最大值点。

**教师**：完全正确！这说明导数不仅能告诉我们函数的变化趋势，还能帮我们解决“最值”问题。这就是今天我们要探究的核心——导数的应用。（板书课题：7导数的应用）

**环节二：探究新知1——导数与函数单调性（15分钟）**

**教师**：刚才的例子中，我们通过导数的正负判断了函数的增减。那一般地，函数的单调性与导数有什么关系呢？请大家看课本PXX的定理：“如果函数f(x)在某个区间内导数大于0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果导数小于0，那么单调递减。”（板书定理）

**教师**：我们结合具体函数理解一下。比如f(x)=x³-3x，先求导f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1）。现在分析导数符号：当x<-1时，x-1<0，x+1<0，所以f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，x-1<0，x+1>0，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，x-1>0，x+1>0，f'(x)>0，函数单调递增。（边说边画数轴标注区间和导数符号）

**教师**：现在请同学们小组讨论，完成课本PXX的例1：判断函数f(x)=eˣ-x的单调性。（3分钟后）哪组愿意分享？

**学生3**：我们组先求导f'(x)=eˣ-1。令f'(x)=0，得eˣ=1，所以x=0。当x<0时，eˣ<1，f'(x)<0，函数单调递减；当x>0时，eˣ>1，f'(x)>0，函数单调递增。

**教师**：非常好！这里要注意：导数等于0的点（如x=0）是单调区间的分界点，但不影响单调性判断。接下来请大家完成练习：判断f(x)=lnx-2x的单调性。（巡视学生练习，个别指导）

**教师**：通过刚才的探究，我们总结出判断单调性的步骤：（板书）1.求导f'(x)；2.令f'(x)=0，求临界点；3.根据临界点划分区间，判断各区间f'(x)的符号；4.确定函数单调性。

**环节三：探究新知2——导数与函数极值（20分钟）**

**教师**：刚才的函数f(x)=x³-3x在x=-1处由增变减，x=1处由减变增，这样的点叫“极值点”。极值怎么求呢？课本PXX告诉我们：“极值点处的导数为0，且导数在该点左右两侧符号相反。”（板书）

**教师**：我们以f(x)=x³-3x为例，刚才求得临界点x=-1和x=1。对于x=-1，左侧x<-1时f'(x)>0，右侧-1<x<1时f'(x)<0，所以x=-1是极大值点，极大值f(-1)=(-1)³-3×(-1)=-1+3=2；对于x=1，左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，所以x=1是极小值点，极小值f(1)=1-3=-2。（板书极值点和极值）

**教师**：这里有个易错点：导数等于0的点不一定是极值点！比如f(x)=x³，f'(x)=3x²，令f'(x)=0得x=0，但x<0和x>0时f'(x)都大于0，所以x=0不是极值点。（强调）

**教师**：现在请大家完成课本PXX的例2：求函数f(x)=x⁴-2x²+3的极值。（5分钟后）请一位同学上台板演。

**学生4**：（板书过程）f'(x)=4x³-4x=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1）。令f'(x)=0，得x=0,±1。列表分析：

|区间|x<-1|-1<x<0|0<x<1|x>1|

|------------|------|--------|-------|-----|

|f'(x)符号|-|+|-|+|

|f(x)单调性|减|增|减|增|

所以x=-1是极小值点，极小值f(-1)=1-2+3=2；x=0是极大值点，极大值f(0)=3；x=1是极小值点，极小值f(1)=2。

**教师**：完全正确！列表法是判断极值的好方法，清晰明了。接下来请大家思考：如果函数在x₀处有极值，那么f'(x₀)一定等于0吗？（引导学生回答：不一定，比如f(x)=|x|在x=0处有极小值，但导数不存在）

**环节四：探究新知3——导数与函数最值（15分钟）**

**教师**：实际问题中，我们往往需要函数在某个区间上的“最值”，比如刚才的利润问题。如果函数在闭区间[a,b]上连续，那么最值一定在端点或极值点处取得。（板书）

**教师**：我们看课本PXX的例3：求f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最值。（边讲边板书步骤）第一步：求导f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0,2；第二步：计算f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=2，f(2)=8-12+2=-2，f(3)=27-27+2=2；第三步：比较得最大值是2（在x=0和x=3处取得），最小值是-2（在x=-1和x=2处取得）。

**教师**：这里要注意：闭区间的端点一定要算！比如如果只算极值点x=0和x=2，就会漏掉x=3处的最大值。（强调）现在请大家完成练习：求f(x)=x+1/x在区间[0.5,2]上的最值。（巡视指导，纠正错误）

**教师**：通过刚才的练习，我们总结出求闭区间上最值的步骤：（板书）1.求f'(x)；2.令f'(x)=0，求区间内的极值点；3.计算端点和极值点的函数值；4.比较得最值。

**环节五：应用拓展——解决实际问题（20分钟）**

**教师**：现在回到开头的问题：制作容积为V的圆柱形罐头，如何设计底面半径和高，才能使表面积最小？（引导学生建模）设底面半径为r，高为h，则πr²h=V，所以h=V/(πr²)。表面积S=2πr²+2πrh=2πr²+2πr·V/(πr²)=2πr²+2V/r（r>0）。

**教师**：现在求S的最小值，先求导S'(r)=4πr-2V/r²。令S'(r)=0，得4πr=2V/r²，所以r³=V/(2π)，r=³√(V/(2π))。然后判断极小值：当0<r<³√(V/(2π))时，比如取r=³√(V/(4π))，S'(r)=4π·³√(V/(4π))-2V/³√(V²/(16π²))=4π·(V/(4π))^(1/3)-2V·(16π²/V²)^(1/3)，计算得S'(r)<0；当r>³√(V/(2π))时，S'(r)>0，所以r=³√(V/(2π))是极小值点，也是最小值点。此时h=V/(πr²)=V/(π·(V/(2π))^(2/3))=V·(2π/V)^(2/3)/π=2^(2/3)·V^(1/3)/π^(1/3)=2·(V/(2π))^(1/3)=2r。

**教师**：所以当底面半径r=³√(V/(2π))，高h=2r时，表面积最小。这就是实际问题的最优解！现在请大家小组合作，完成课本PXX的练习：用总长为20m的篱笆靠墙围一个矩形场地，如何设计长和宽，才能使面积最大？（8分钟后展示成果）

**学生5**：我们组设宽为x，长为20-2x（因为靠墙，只有三边），面积S=x(20-2x)=20x-2x²。求导S'(x)=20-4x，令S'(x)=0，得x=5。当x<5时，S'(x)>0；x>5时，S'(x)<0，所以x=5是最大值点，此时长=20-10=10，最大面积=50㎡。

**教师**：非常好！实际问题建模的关键是“设变量→列函数→求导→找极值”。

**环节六：课堂小结与作业布置（5分钟）**

**教师**：今天我们学习了导数的三大应用：判断单调性、求极值和最值，以及解决实际问题。核心方法是通过导数的符号分析函数的变化趋势。请大家课后完成课本PXX习题7.1的第1、3、5题，并思考：如果函数在区间内有多个极值点，如何确定最大值和最小值？

**教师**：最后，请一位同学总结本节课的收获。

**学生6**：我学会了用导数判断函数单调性的步骤，知道了极值点的导数为0且导数符号相反，求闭区间最值要算端点，还能用导数解决实际优化问题。

**教师**：总结得很到位！下节课我们将继续学习导数在物理中的应用，大家提前预习课本PXX的内容。下课！拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）教材配套拓展资源：北师大版选择性必修第二册教师教学用书PXX-PXX“导数在物理学中的应用”专题，详细阐述导数与瞬时速度、加速度的关系，结合课本例题延伸至物体运动模型分析，深化导数作为“变化率”的物理意义。

（2）《数学分析（下册）》华东师范大学出版社PXX-PXX“微分中值定理的推广与应用”，通过拉格朗日中值定理与导数单调性的逻辑关联，帮助学生理解导数应用的理论基础，补充课本中未涉及的定理证明过程。

（3）《生活中的优化问题》人民教育出版社PXX-PXX“经济学中的边际分析”，以边际成本、边际收益为例，展示导数在经济学中的核心应用，与课本7.3节“实际问题的优化”形成知识互补。

（4）校本课程《数学建模案例集》第三单元“导数在几何中的应用”，通过曲线的切线斜率、面积最值等问题，强化数形结合思想，衔接课本7.2节“函数的极值与最值”的几何直观。

2.课后自主学习探究

（1）基础巩固型任务

①完成教材PXX习题7.1第6题（判断含参数函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的单调性），要求分类讨论参数a,b,c,d对导数符号的影响，巩固临界点分析方法。

②探究课本PXX“信息技术应用”栏目，用几何画板绘制函数f(x)=x³-6x²+9x+1的图像，观察导数f'(x)=3x²-12x+9的零点与极值点的对应关系，验证数形结合结论。

（2）应用提升型任务

①设计一个容积为定值V的无盖圆柱形容器，推导底面半径r与高h的关系式，利用导数求表面积最小值方案，撰写200字解题报告，关联课本7.3节“实际问题的优化”建模步骤。

②调查本地某企业近5年的利润数据（假设为二次函数模型），用导数求利润最大化的产量，分析导数在实际决策中的价值，体现数学建模核心素养。

（3）跨学科探究型任务

①物理关联：研究简谐运动位移s(t)=Acos(ωt+φ)的导数，分析速度v(t)=s'(t)与加速度a(t)=v'(t)的变化规律，理解导数在描述运动瞬时状态中的作用。

②生物学应用：某种细菌数量N(t)满足logN(t)=kt+logN₀，求细菌繁殖速率N'(t)，解释导数在种群动态模型中的生物学意义。

（4）思维拓展型任务

①证明不等式：当x>0时，x-ln(x+1)>0。构造函数f(x)=x-ln(x+1)，利用导数证明其单调性，归纳“导数法证明不等式”的一般步骤，拓展课本7.1节单调性应用。

②探究导数与方程根的关系：讨论方程x³-3x+k=0在不同k值下根的个数，结合函数f(x)=x³-3x的极值，分析导数在研究方程根的分布中的应用。

（5）实践反思型任务

①撰写“导数应用”单元学习反思报告，梳理从“导数概念”到“实际优化”的逻辑链条，举例说明导数如何解决传统方法难以处理的问题，强化知识体系构建。

②小组合作完成“校园绿化面积优化”项目：测量教学楼前矩形区域周长，设计花坛布局方案（如圆形、椭圆形等），用导数求面积最大值，形成PPT汇报，体现数学应用意识。重点题型整理1.判断函数\(f(x)=x^3-3x\)的单调区间。

答案：求导\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x<-1\)，\(f'(x)>0\)，单调递增；当\(-1<x<1\)，\(f'(x)<0\)，单调递减；当\(x>1\)，\(f'(x)>0\)，单调递增。

2.求函数\(f(x)=x^4-2x^2+3\)的极值。

答案：求导\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=0,\pm1\)。分析符号变化：\(x=-1\)处由负变正，极小值\(f(-1)=2\)；\(x=0\)处由正变负，极大值\(f(0)=3\)；\(x=1\)处由负变正，极小值\(f(1)=2\)。

3.求函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在区间\([-1,3]\)上的最值。

答案：求导\(f'(x)=3x^2-6x\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=0,2\)。计算端点值：\(f(-1)=-2\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)，\(f(3)=2\)。比较得最大值2，最小值-2。

4.制作容积为\(V\)的圆柱形罐头，求表面积最小时的底面半径和高。

答案：设底面半径\(r\)，高\(h=V/(\pir^2)\)。表面积\(S=2\pir^2+2V/r\)。求导\(S'(r)=4\pir-2V/r^2\)。令\(S'(r)=0\)，得\(r=\sqrt[3]{V/(2\pi)}\)，\(h=2r\)。

5.求曲线\(y=x^2\)在点\((1,1)\)处的切线方程。

答案：求导\(y'=2x\)，在\(x=1\)，斜率\(k=2\)。切线方程\(y-1=2(x-1)\)，即\(y=2x-1\)。教学反思这节课学生对导数判断单调性的掌握较好，但求极值时容易忽略导数符号变化的细节。比如在分析f(x)=x³-3x时，部分学生直接认为f'(x)=0的点都是极值点，忽略了左右导数符号必须相反的关键条件。实际优化问题建模环节，学生设变量时存在困难，需要更细致的引导。课堂动态演示函数图像与导数关系的环节效果显著，多数学生能直观理解导数正负与函数增减的对应关系。课后作业反馈显示，闭区间最值计算中遗漏端点的情况仍较普遍，需在后续教学中强化端点意识。教材中“导数与方程根的关系”的拓展内容值得深入挖掘，可结合例题进一步巩固学生对导数工具性的认识。整体来看，本节课实现了知识目标与素养目标的统一，但需加强学生对导数应用本质的理解，避免机械套用步骤。板书设计①导数与函数单调