2025重庆市中考数学试题(解析版)

重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（本试卷由四个大题组成，总分150分，答题时长为120分钟）请提供需要的试题内容。1．请将答案填写在专用答题卡中，禁止在试卷上直接书写答案；2．在开始答题之前，请仔细阅读答题卡中列出的相关注意事项；3．所有作图操作（含辅助线的绘制）均须使用黑色2B铅笔完成：4．在考试时间截止后，请监考人员统一回收试卷与答题卡。参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．一、单项选择题：（本部分共10题，每题4分，总分40分）每道小题均提供A、B、C、D四个选项，其中仅有一个选项正确。请在答题卡对应题号的右侧，将正确答案的方框涂黑。请写出1.6的相反数：（）A.B.C.D.6【答案】A【解析】【解析】本题旨在考察学生对相反数定义的理解。根据相反数的特性，即两个数绝对值相等且符号相反，即可推导出结果。解题的核心在于准确掌握“仅符号不同，数值相等”的两个数互为相反数这一知识点。【详解】解：6的相反数是．

故选：A．2.在给出的下列图形中，属于轴对称图形的是（）A.B.C.D.【正确选项】B【解析】【解析】本题的核心考点在于轴对称图形的定义。根据定义，若一个图形在沿某条直线对折后，两侧的部分可以完全重叠，则该图形被定义为轴对称图形，而该直线则被称为对称轴。解本题的关键在于对轴对称图形定义的熟练运用。【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．

故选：B．3.在以下各项调查活动中，最宜选用全面调查（普查）方式的是（）A.对特定品种柑橘的甜味程度进行调研

B.对某个品牌新能源汽车的碰撞安全性进行考察C.对该城市垃圾分类的现状进行调查

D.调研全班同学观看电影《哪吒2》的具体情况【答案】D【解析】【解析】本题旨在辨析抽样调查与全面调查的不同之处。在实际操作中，应依据被调查对象的具体特性灵活决定采用普查还是抽样调查。通常而言，若调查过程具有破坏性、无法实施全面统计，或者普查的实际意义与价值较低，则应采取抽样调查；而对于精度要求极高或影响重大的调查，则倾向于选用普查。普查所获结果更为精准，但需要投入大量的人力、物力及时间；相比之下，抽样调查的结果则属于近似推断。【解析】解：选项A中，针对特定柑橘甜度的调研，若采取全面调查，不仅执行成本高、工作量巨大，且会对样本造成破坏，因此采用抽样调查更为妥当，该选项不符合题意；在选项B中，针对某品牌新能源汽车抗撞击性能的调研属于破坏性检查，更适宜采用抽样调查法，因此该选项不符合题目要求；在C选项中，针对该市垃圾分类现状的调研，若采取全面调查则会导致工作量过大，而抽样调查更为适用，因此该选项不符合题目要求；在D选项中，针对全班同学观看电影《哪吒2》的情况进行调查，由于调查规模较小，采取全面调查法较为合适，因此该选项符合要求。因此，正确选项为：D。4.如图，点A，B，C在上，，的度数是（）A.B.C.D.【正确选项】B【解析】【解析】本题旨在考察圆周角定理的应用。通过利用同弧对应的圆周角等于圆心角之半这一性质即可得出答案。掌握并灵活运用圆周角定理是完成本题的核心。【解析】解：由圆周角定理可知，同一段弧所对应的圆周角大小等于该弧所对圆心角的一半，．因此，正确选项为：B。5.观察如图所示的图案拼接规律：第1个图包含4个圆点，第2个图包含8个圆点，第3个图包含12个圆点，第4个图包含16个圆点。若继续按照此规律进行拼接，则第n个图中的圆点数量为（）A.32

B.28

C.24

D.20【答案】C【解析】【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第个图案中有4个黑色圆点，第个图案中有8个黑色圆点，第个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．详解】解：第个图案中有4个黑色圆点，在第一个图形里，共有8个黑色的圆点，在第一个图形中，共有12个黑色的圆点，在第一个图形中，共有16个黑色的圆点，则第个图案中有个黑色圆点，所以第个图中圆点的个数是个，因此，正确选项为：C。6.反比例函数的图象一定经过的点是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在考察反比例函数图象中点的坐标性质。解题的核心在于掌握反比例函数图象上的任意一点，其坐标均满足该函数的解析式。通过分析点坐标的具体特征即可得出结论。【详解】解：反比例函数的，点所在的反比例函数的，反比例函数的图象一定经过的点是，正确选项为：D。7.在以下给出的四个数值中，数值最大的一项是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在评估学生对科学记数法的实际运用能力。通过将各选项中的数值还原为标准形式，进而通过对比得出正确答案。解题的核心在于能否精准地掌握并执行科学记数法的转换过程。【详解】解：，，，，，，四个数中，最大的是，因此，正确选项为：D。8.某旅游景区在2022年的接待游客量为25万人。在随后两年的旅游开发力度加强后，到2024年，该景区的接待游客数增加至36万人。请计算该景区在这两年间的游客年平均增长率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【解析】解答：假设每年的平均增长率为x，可得方程，解得或（舍去负值），所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为，故选：B9.如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键．【详解】解：如图，连接，，四边形是正方形，，，点E是边的中点，,将沿直线翻折得，，,，，，，设，则，根据勾股定理可得,即，解得，，和的平分线相交于点H，点到的距离相等，，因此，正确选项为：A。10.已知整式，其中为自然数，，，，，为正整数，且．下列说法：在所有符合条件的整式M中，恰好只有一个是单项式；当时，满足条件的所有整式M的和为；在所有符合条件的二次三项式中，若整式M在x为任意实数时均能保证其值非负，则满足此条件的整式M共有3个。其中正确项的数量为（）A.0

B.1

C.2

D.3【正确选项】C【解析】【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．【详解】解：当时，，当，时，整式M为，当时，整式M不可能为单项式，当时，，，，为正整数，整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，正确；当时，，当时，，则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，当时，，则故会有一种情况，对应的整式M为，当时，，与，，，为正整数矛盾，故不存在，满足条件的所有整式M的和为，故错误；多项式为二次三项式，，，因为多项式为三项式，故，当时，，则有两种，，，两种都满足条件，当时，，则有一种，，满足条件，当时，，与，，，为正整数矛盾，故不存在，因此，能够确保其结果恒为非负数的整式M总共有3个，该结论正确。其中正确的个数是个，因此，正确选项为：C。二、填空题：（本部分共6小题，每题4分，合计24分）请将每道题的最终结果直接填写在答题卡相应位置的横线上。11.一个不透明的袋子里装有1个红色球和3个白色球，除颜色不同外，这些球没有任何区别。若从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率为__________。【答案】【解析】【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可．【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个．摸出红球的概率．故答案为：．12.如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是__________．【答案】【解析】【解析】本题旨在考查平行线的相关性质。通过运用两直线平行时同位角相等的定理即可得出答案，掌握平行线的基本性质是顺利解题的核心。【详解】解：，，故答案为：．13.若为正整数，且满足，则__________．【答案】【解析】【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出．详解】解：，，，为正整数，且满足，，故答案为：．14.若实数x，y同时满足，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．【详解】解：，，，，，，当时，方程无解，当时，，，，；故答案为：．15.如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为__________，的长度为__________．【答案】.3.【解析】【解析】本题的核心考点涵盖了圆的垂径定理、圆周角定理、菱形的特征以及直角三角形的求解方法。解题的关键在于合理地添加辅助线，并灵活运用直角三角形的边角关系来得出结论。由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接，由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过H作于F，解直角三角形可得、，易得，最后运用勾股定理求解即可．【详解】解：，，，，即，，菱形，，，；如图：连接，是的直径，，，即，解得：；，即，解得：；菱形，，，如图：过H作于F，，，，，，，故答案为：3，．16.我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为十全数．例如：四位数1928，因为，所以1928是十全数．按照这个规定，最小的十全数是__________：一个十全数，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________．【答案】..【解析】【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的十全数，得到，，然后求出，，即可得到最小的十全数是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可．【详解】解：设四位数请找出最小的十全数。，，最小的十全数是；一个十全数，，与均是整数与均是整数能被13整除，能被17整除，，的值可以为13，26，39，52，65依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意，满足条件的M的值是．故答案为：，．三、综合解答题：（本部分共2道小题，每题8分，合计16分）在作答时，每道小题均需提供完整的计算过程或逻辑推理步骤，并绘制必要的几何图形（含辅助线）。请将详细的解答步骤填写在答题卡指定的区域内。17.求不等式组：的所有整数解．【答案】，，【解析】【解析】此题旨在考察不等式组的求解方法及其整数解的确定。解题的核心在于熟练运用解不等式组的标准步骤。通过依次求解不等式组，即可推导出符合条件的整数解。【详解】解：，解不等式，得：；解不等式，得：；不等式组解集为．所以该不等式组的所有整数解是，，．18.在掌握了角平分线的定义及尺规作图方法后，小红尝试进行深层探索，并寻找到了一种新的角平分线作图方式。她将这一发现与同学分享，请你扮演其同伴的角色，依照小红的逻辑思路，完成相应的作图任务并填空：首先，绘制角平分线。小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．第二阶段：通过证明三角形全等来验证其提出的猜想。证明：，，．在和中，，．．平分．【答案】第一步：作图见解析；第二步：；；【解析】【解析】本题旨在考察复杂图形的绘制以及全等三角形的判定条件与相关性质，解题的核心在于灵活运用上述知识点来完成证明或作图。首先，请依照题目所给的条件绘制出相应的几何图形；第二步：利用证明，得出即可解答．【详细解析】解答过程：首先，绘制如图所示的图形：；第二步：证明：，，．在和中，，．,平分．四、综合解答题：（共7个小题，每题10分，总计70分）在作答时，每道小题均需提供完整的计算过程或逻辑推导步骤，并绘制必要的几何图形（含辅助线）。请将所有解答内容填写在答题卡相应区域内。19.学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年级随机抽样学生竞赛成绩的扇形统计图七、八年级抽样学生竞赛得分汇总表年级七年级八年级平均数中位数众数请基于上述提供的内容，回答以下问题：（1）上述图表中__________，__________，__________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？【答案】（1），，（2）七年级学业成绩优异，具体原因请参考解析（答案不唯一）（3）人【解析】【解析】本题的核心考点在于扇形统计图的分析以及中位数、众数、平均数的计算，并涉及样本估计总体的相关知识。解题的关键在于能够熟练运用扇形统计图的性质并准确掌握三种统计量（中位数、众数、平均数）的求法。（1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出；（2）通过对众数、中位数以及平均分的综合分析，即可获得结论；（3）可以通过利用样本对总体进行估计来得出结果。【第一小问详细解析】解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人），七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，，，八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，，七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个，，，故答案为：，，；【第二小问详细解析】解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好；【第三小问详细解析】解：（人），即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可．【详解】解：原式；，原式．21.请通过建立方程来解决以下问题：某工厂在制造甲、乙两类文创产品。已知每日生产甲类产品的件数比乙类产品多50件，且在3天内生产的甲类产品总数比4天内生产的乙类产品总数多出100件。（1）请计算该工厂每日生产的甲类与乙类文创产品的具体数量各为多少？（2）受市场需求增长的影响，该工厂优化了生产工艺。调整后，乙种文创产品每日的产量在原基础上增加了一个固定数值；而甲种文创产品每日产量的增量则是乙种产品增量的2倍。已知在生产甲、乙两种产品各1400个的情况下，生产乙种产品比甲种产品多花费了10天，请计算出乙种文创产品每天增加的生产数量。【答案】（1）该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个（2）每天乙文创产品增加的数量是个【解析】【解析】本题旨在考察如何运用一元一次方程及分式方程解决实际问题。解题的核心在于准确把握题目含义，并依据等量关系式构建方程。（1）假设该工厂每日制造的乙文创产品总数为x个，依据题目给出的条件，建立一元一次方程并求解。（2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天列分式方程解答即可．【第一小问详细解析】解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．，解得：，则甲文创产品数量为个，答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．【第二小问详细解析】解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．，解得：，经检验：是原方程的解，答：每天乙文创产品增加的数量是个．22.如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．【答案】（1），（2）作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小（3）（或或或或）【解析】【解析】本题旨在考查对函数解析式的确定、一次函数及其反比例函数的图象与性质、反比例函数与不等式关系的理解，以及勾股定理和矩形性质的应用。解题的核心在于熟练运用上述知识点，并能针对动点问题准确地分段构建相关线段的表达式。（1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：当时；当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出；（2）先依据给出的函数解析式绘制函数图象，随后通过观察图象来总结并写出该函数的相关性质；（3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可【第一小问详细解析】解：为矩形的对角线AC的中点，，，，，，当时，，如图，；当时，，如图，；；如图，过点作于点，，，的面积为，同理可得的面积为，又矩形的面积为，，；【第2小问详细解析】解答：具体作图情况见下图：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；【第三小问详细解析】解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．23.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？【答案】（1）千米（2）千米【解析】【解析】本题的核心在于考察直角三角形在实际场景中的运用以及矩形的性质与判定方法。解题的关键在于通过合理地添加辅助线来构建直角三角形。（1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长；（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。【第一小问详细解析】解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，，由题意得，，在中，千米，千米，一架无人机处于B点，该点在A点的正东方向，两地相距10千米；同时，D点位于C点的正西方位上。，，四边形是矩形，千米，千米，千米，千米，答：的长度约为千米；【第二小问详细解析】解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，在中，千米，千米，千米，设千米，则千米，千米，在中，千米，千米，千米，在中，由勾股定理得，，或（此时大于的长，舍去），千米，答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．（1）请推导该抛物线的方程：（2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）（2）点P的坐标为，的最小值为（3）点N的坐标为或【解析】【解析】（1）通过待定系数法来确定该二次函数的表达式；（2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题；（3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题．【第一小问详细解析】解：设抛物线的解析式为，把代入得，解得，；【第二小问详细解析】解：令，则，点C的坐标为，设直线的解析式为，把和代入得：，解得，，设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，则点F的坐标为，，轴，，，，，当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，则四边形是平行四边形，，即，由A，B关于对称性可得点A的坐标为，连接，则的最小值为长，即，即的最小值为；【小问3详解】解：，，将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，设点N的坐标为，由平移得，，如图所示，，即，解得（舍去）或，这时点N的坐标为；如图所示，则，即，解得或（舍去），这时点N的坐标为；综上所述，点N的坐标为或．【解析】本题属于二次函数的综合性题目，重点考察待定系数法的运用、二次函数中涉及的线段长度计算、基于轴对称性质的最短路径求解以及函数的平移变换。此外，还涉及直角三角形的解法。在解题过程中，灵活运用数形结合与分类讨论的思想是突破