全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第52讲椭圆【正文】听课手册

第52讲椭圆【课标要求】1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.

3.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.

4.了解椭圆的简单应用.1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;

(2)若,则集合P为线段;

(3)若,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2by2a2+x2b图形(续表)标准方程x2a2+y2by2a2+x2b性质范围,

,

对称性对称轴:

对称中心:

顶点A1,A2,

B1,B2

A1,A2,

B1,B2

轴长轴A1A2的长为

短轴B1B2的长为

焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=

离心率e=ca,e∈a,b,c的关系c2=

常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=PF1,r2=①x2a2+y2b2=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2②y2a2+x2b2=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2③焦半径中长轴端点的焦半径最大和最小.(2)焦点三角形:以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2为顶点的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b①当r1=r2,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tanθ2=cy0,当y0=b,即点P的位置为短轴端点时,S③焦点三角形的周长为2a+2c.(3)若F1,F2为椭圆的两个焦点,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为4a.(4)点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,则椭圆在点P题组一常识题1.[教材改编]如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是,△PF1F2.[教材改编]比较椭圆9x2+y2=36与椭圆x216+y2123.[教材改编]动点M(x,y)到定点F(4,0)的距离和到定直线l:x=254的距离的比值是常数45,则动点M的轨迹方程为题组二常错题◆索引:椭圆的定义中忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;忽视椭圆方程中未知数的取值范围.4.平面内一点M到两定点F1(-6,0),F2(6,0)的距离之和等于12,则点M的轨迹是.

5.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为.

6.若F1,F2分别是椭圆x29+y25=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则PF1椭圆的定义及其应用例1(1)[2025·山西临汾三模]已知动点M(x,y)满足(x+3)2+y2+(x-3)2+A.x25+y24=1 B.C.x225+y216=1 D.(2)[2023·全国甲卷]设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PFA.1 B.2 C.4 D.5总结反思椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是利用定义解与焦点三角形有关的问题.涉及焦点三角形的常见问题有求焦点三角形的周长、面积等,难度不是很大.变式题(1)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12C.9 D.6(2)[2026·山西吕梁一中月考]已知P是椭圆y25+x24=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF(3)[2025·上海交通大学附中月考]直线l与椭圆x23+y22=1交于A,B两点,F为椭圆的左焦点,则△椭圆的标准方程例2求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0),并且椭圆经过点52(2)中心在原点,焦点在x轴上,且经过四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,(3)中心在原点,离心率为23(4)中心在原点,焦点在x轴上,且过两点P(3,27),Q(-6,7).

总结反思根据条件求椭圆方程的主要方法:(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.变式题(1)已知点P在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,点F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为12,椭圆A.x288+y224=1 B.C.x240+y224=1 D.(2)[2022·全国甲卷]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1A.x218+y216=1 B.C.x23+y22=1 D.x椭圆的简单几何性质微点1求椭圆的离心率的值或范围例3(1)[2025·河南洛阳质检]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,PF1⊥PF2,|PF1|=3|PF2|,则椭圆A.104 B.45 C.23 (2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是A.(0,1) B.0C.0,22 总结反思求椭圆离心率的值或取值范围的方法:(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=ca求解(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=1-b(3)构造a,c的齐次式,可以不求出a,c的具体值得出a与c的关系,从而求得e.微点2与椭圆有关的范围(最值)问题例4(1)已知椭圆的方程为x29+y24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则△ABF2的周长的最小值为A.7 B.8C.9 D.10(2)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 (A.52 B.6 C.5 D.总结反思利用椭圆的几何性质求取值范围(最值)问题的思路:(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示,利用坐标的取值范围构造函数或不等关系.(2)将所求取值范围用a,b,c表示,利用a,b,c自身的取值范围、关系求取值范围.1.[2025·河北秦皇岛三模]若点P(1,-a)在椭圆x2-y22a=2的内部,则实数a的取值范围为 (A.(-2,+∞)B.-2,-C.(-2,0)D.-2,-2.(多选题)[2025·湖南长沙雅礼中学二模]已知椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,则下列说法正确的是A.椭圆E的长轴长为5B.椭圆E的离心率为4C.1≤|PF1|≤9D.恰好存在2个点P使得PF1·3.[2025·四川攀枝花三模]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长交椭圆C于另一点B,若|F1B|∶|AB|=4∶5,则椭圆A.33 B.C.77 D.