全品高考备战2027年数学一轮学生用书12重点强化练(十二)空间中的截面问题、折叠与展开问题【答案】

重点强化练(十二)间中的截面问题、折叠与展开问题1.D[解析]设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的底面积为π,所以πr2=π,得r=1,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以πl=2πr=2π,解得l=2,故选D.2.A[解析]如图,面积为4的正方形的边长为2,由题意可知,圆柱的高是2,底面半径是1,则底面周长为2π,所以圆柱的表面积S表=2S下底+S侧=2·π·12+2×2π=6π.故选A.3.C[解析]如图,当E在A1C1上时,截面形状为矩形;当E与B1或D1重合时,截面形状为等边三角形;当E在除上述两种情况外的其他位置时,截面形状为等腰梯形.故选C.4.C[解析]如图,取A'D的中点N,连接PN,MN,可得PN=22+12=5.因为M,N分别是A'C,A'D的中点,所以MN∥CD,MN=12CD,又CD∥PB,PB=12AB=12CD,所以MN∥PB且MN=PB,所以四边形PBMN为平行四边形,所以BM∥PN,所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中,cos∠A'PN=A5.A[解析]设P为圆台母线AB的中点,O1,O2分别为上、下底面的圆心,把圆台扩成圆锥SO2,如图①所示,连接SO2,O1A,O2B,则O1A=1,O2B=2,AB=4.由O1A∥O2B,得SA=4,SB=8,SP=6,圆锥的底面周长为4π,母线长SB=8,所以侧面展开图扇形的圆心角为4π8=π2,即∠BSB'=π2,如图②所示.一质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为展开图中的PP',由∠PSP'=π2,SP=SP'=6,可得PP'=6 6.C[解析]将正四面体P-ABC补形为如图所示的正方体PJCK-MBLA,因为正四面体P-ABC的所有棱长均为3,所以正方体的棱长为32=62,该正四面体的外接球即为正方体的外接球,球心O为正方体的中心,连接PL,则O为PL的中点,外接球的半径R=12PL=12×3×622=324.因为D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,所以四面体P-EFD的棱长均为32,则正四面体PVP-ABC=VPJCK-MBLA-4VB-JPC=623-4×16×623=64,所以VP-EFD=18VP-ABC=632.设△EFD的中心为O1,则O1在PLVP-EFD=13S△EFD·PO1=13×34×322·PO1=632,解得PO1=22.又P,O1,O三点共线,则O到平面EFD的距离为O1O=PO-PO1=324-22=24.正四面体P-ABC的外接球被平面DEF所截得到的截面为圆,且圆的半径r=7.B[解析]在矩形ABCD中,AB=3,AD=3,DM=1,由tan∠BDC=33可得∠BDC=30°,由tan∠AMD=3可得∠AMD=60°,则∠DQM=90°,即BD⊥AM.如图①,可知折起后必有PQ⊥AM,BQ⊥AM,又PQ∩BQ=Q,PQ,BQ⊂平面PBQ,故AM⊥平面PBQ,因为AM,BQ是确定的直线,所以对任意点P,P,B,Q都在同一个确定的平面内.因为PQ=DQ=32,所以点P在以点Q为圆心,32为半径的圆上,如图②,由图知,当且仅当PB与该圆相切时,∠PBQ取到最大值,则sin∠BPQ=90°,BQ=332,则sin∠PBQ的最大值为3233 8.C[解析]如图,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AB,BC,AD.因为f(x)的最小正周期T=2πω,所以CD=12T=πω,又BD=1,所以BC=BD2+CD2=12+πω2.当折成直二面角时,平面ACD⊥平面BCD,因为AC⊥CD,平面ACD∩平面BCD=CD,AC⊂平面ACD,所以AC⊥平面BCD,因为BC⊂平面BCD,所以AC⊥BC,所以AB=AC2+BC2=12+12+πω2=11,解得ω=π3或ω=-π3(舍去),故f(x)=sinπ3x+φ.因为f(0)=sinφ=32,且0<φ<π,9.ABD[解析]如图,对于A,沿LG和NI剪开,将四边形LGIN沿GI向上翻折,得到的图形的直观图为A.对于B,沿DI,CH,LG,MH剪开,将四边形CDIH与四边形LGHM分别沿HI,GH向上翻折,使M与C重合,得到的图形的直观图为B.对于C,四边形LGHM和四边形BCHG都被折起了,四边形MHIN和四边形HIDC都没有被折起,与直观图矛盾,所以不可能得到C.对于D,沿LG,NI,CH剪开,将四边形LGIN沿GI向上翻折,将四边形CHJE沿HJ向下翻折,得到的图形的直观图为D.故选ABD.10.ABD[解析]对于A,如图①,易知当点P在线段AD(不含点E)上时,EP∥BC,又EP⊄平面FBC,BC⊂平面FBC,所以EP∥平面FBC,故A正确;对于B,如图②,分别取BB1,B1C1,C1D1的中点Q,M,N连接EF,EP,PQ,QM,MN,FN,则过E,F,P三点的平面截正方体所得截面是边长为2的正六边形FEPQMN,所以截面面积S=6×12×2×2sin60°=33,故B正确;对于C,如图③,VC1-A1B1P=VP-A1B1C1=13×12×2×2×2=43,故C错误;对于D,如图④,设△PBC,△PA1B的外心分别为O1,O2,外接圆的半径分别为r1,r2,过O1,O2分别作平面PBC,平面PA1B的垂线,交点即为三棱锥A1-CBP外接球的球心O,设PB的中点为H,连接O1H,O2H,OP,O2∠O1HO2就是平面PBC与平面PA1B所成二面角的平面角,又易知平面PBC⊥平面PA1B,所以四边形O1OO2H为矩形,所以外接球的半径R满足R2=OP2=OO12+O1P2=O2H2+PH2+O1H2=O2P2-PH2+PH2+O1H2=r22+O∠A1PB=120°,A1B=22,所以A1Bsin120°=463=2r2,解得r2=263,又易知O1H=12BC=1,所以R2=r22+O1H2=83+1=113 11.BD[解析]要使五棱锥P-ABFED的体积最大,则平面PEF⊥平面ABFED,如图,取EF的中点G,连接PG,AG,则PG⊥EF,又平面PEF⊥平面ABFED,且平面PEF∩平面ABFED=EF,PG⊂平面PEF,所以PG⊥平面ABFED.对于A,B,由题知该五棱锥的高为PG=22x,0<x<2,底面积S=4-12x2,所以V(x)=134-12x2×22x=212(8x-x3),0<x<2,V'(x)=-24x+263x-263,当x∈0,263时,V'(x)>0,当x∈263,2时,V'(x)<0,故V(x)在0,263上单调递增,在263,2上单调递减,故A错误,B正确.对于D,因为V(x)在0,263上单调递增,在263,2上单调递减,所以V(x)max=V263=1612.334m2[解析]将正方体的平面展开图还原成正方体,如图,连接AK,BK,HD,CH.由正方体的性质知AB∥HD,因为HD⊂平面CHD,AB⊄平面CHD,所以AB∥平面CHD.因为BK∥CH,CH⊂平面CHD,BK⊄平面CHD,所以BK∥平面CHD,又AB∩BK=B,AB,BK⊂平面ABK,所以平面ABK∥平面CHD.设AC,BC,BD,DK,KH,AH的中点分别为E,F,G,P,M,N,连接EF,FG,GP,PM,MN,NE,根据正方体的结构特征知,正六边形EFGPMN即为满足题意的截面.因为正方体的棱长为m,所以正六边形EFGPMN的边长为22m,所以正六边形EFGPMN的面积为6×34×22m2=33413.2+25[解析]如图,取A1D1的中点G,连接EG,GD,过点F作GD的垂线,与DD1相交于点M,则EG⊥FM,GD⊥FM,又EG,GD⊂平面EGD,EG∩GD=G,所以FM⊥平面EGD,又ED⊂平面EGD,所以FM⊥ED,易得MD=14DD1=1,所以FM=5.连接C1D,过点M作C1D的垂线,交CD于点H,连接FH.因为MH⊥C1D,MH⊥EC1,且C1D,EC1⊂平面EC1D,C1D∩EC1=C1,所以MH⊥平面EC1D,又ED⊂平面EC1D,所以MH⊥ED,又MH,FM⊂平面FMH,MH∩FM=M,所以ED⊥平面FMH,所以平面FMH就是平面α,易得DH=14CD=1,所以MH=2,FH=5,故所得截面的周长为2+2514.4327[解析]因为AB=3,AC=1,BC=22,所以AC2+BC2=12+(22)2=1+8=9=AB2,可知∠ACB=90°.如图,作DE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,若点D的位置固定,则当平面A'CD⊥平面BCD时,四面体A'BCD的体积最大,此时A'F为四面体A'BCD的底面BCD上的高.设DE=x(D在线段AB上,0<x<1),因为△BDE∽△BAC,所以DEAC=BEBC,则x1=BE22,即BE=22x,所以CE=22x2+8(1-x)2,易得△ACF∽△CDE,则ACCD=AFCE,则A'F=AF=22(1-x)x2+8(1-x)2,又△BCD的面积S△BCD=12×BC×DE=12×22×x=2x,所以四面体A'BCD的体积V=43·x(1-x)x2+8(1-x)2=43·11(1-x)2+8x2,记函数f(x)=1(15.解:(1)证明:在△AEF中,AE=25AD=23,AF=12AB=4,∠∴cos∠EAF=AE2+AF2-EF∵EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,得PE⊥EF,DE⊥EF,又PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE,∴EF⊥平面PDE,又∵PD⊂平面PDE,∴EF⊥PD.(2)连接CE,∵DE=53-23=33,CD=3,∠CDE=90°,∴CE2=36,得CE=6.又PE=AE=23,PC=43,∴PE2+CE2=PC2,∴PE⊥CE.又PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CE⊂平面DEC,∴PE⊥平面DEC,∴PE⊥ED,即EF,ED,EP两两垂直.以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,23),D(0,33,0),F(2,0,0),A(0,-23,0),C(3,33,