全品高考备战2027年数学一轮学生用书12增分微课9与圆有关的圆锥曲线问题【答案】听课手册

增分微课9与圆有关的圆锥曲线问题例1解:(1)∵点E在抛物线内部,∴|PE|+|PF|≥1+p2=2,∴p故抛物线C的方程为y2=4x.(2)根据题意设直线OA,OB的方程分别为y=k1x,y=k2x,即k1x-y=0,k2x-y=0.设△OAB内切圆的半径为r,则|k1-1|k12+1=r,整理得(1-r2)同理得(1-r2)k22-2k2+1-r∴k1与k2是关于x的方程(1-r2)x2-2x+1-r2=0的两个不同实数根,∴r设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1k2=y1x1·y2x2=y1y2x1由y=13x+m,y2=4x,得y又x1x2=116(y1y2)2=9m2,∴9m2=12m,∵m≠0,∴m=43故直线l的方程为y=13x+4变式题3+22[解析]设△MF1F2的内切圆圆心为O1,与三边的切点分别为A,B,C,如图所示,设|MA|=|MC|=m,|AF1|=|BF1|=n,|BF2|=|CF2|=t.设△NF1F2的内切圆圆心为O2,由双曲线的定义可得(m+n)-(m+t)=2a,n+t=2c,得n=a+c,由此可知,在△MF1F2中,O1B⊥x轴于点B,同理可得O2B⊥x轴于点B,所以∠O2O1D+∠BF2C=π,∠BF2C+∠CF2x=π,所以∠O2O1D=∠CF2x=π4,所以|O1O2|=2|O1D|,即R1+R2=2(R1-R2),所以(2-1)R1=(2+1)R2,即R1R例2解:(1)由已知得e=ca=6设a=3t(t>0),则c=6t,b=3t,因为点B(3,1)在C上,所以99t2+13t所以椭圆C的方程为x212+y(2)由(1)可知A(0,-2),又B(3,1),所以D32当直线l与x轴垂直时,M32,132因为kBM·kBN=132-132-3又因为kAM·kAN=132+232×-132+232=13,所以AM与AN当直线l的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l的方程为y=kx-32-1由y=kx-3k+12,x212+y24=1,消去y得4(1+3k2)x2-12k(3k+1)x+9(3k2+2k-5)=0,Δ=144(3k2+由根与系数的关系可知x1+x2=3k(3k+1)1+3k所以kBM·kBN=y1-1x19k-3k2+2若A,M,B,N四点共圆,则AM⊥AN,记圆心为E,则|EA|=|EB|=12|MN|,所以直线l是线段AB的垂直平分线,又kAB=1+23-所以l的方程为x+y-1=0.变式题解:(1)由题意知,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为x=y+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,x=所以y1+y2=4,y1y2=-4,所以|AB|=2|y1-y2|=2(y(2)设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y又直线AD的方程为y=y1x1x,所以yD=-y1x所以y2=yD,故直线BD的斜率为0.(3)由题意知,O(0,0),F(1,0),B(x2,y2),D(-1,y2).因为O,F,B,D四点共圆,直线DB平行于x轴,所以可设圆心坐标为12,由x2-12=12,解得x2=2,所以B2,-22,则R2=14+b2=94+-22-b2,可得b例3解:(1)由题知a解得a2=9,b2=1,则C(2)(i)设R(x0,y0),易知A(0,-1),∵|AP|·|AR|=3,∴AP·AR=3,又AP=(m,n+1),AR=(x0,y0+1),∴mx0+(n+1)y0=2-n①.易知直线AP的方程为y=n+1mx-1,∵R在AP上,∴y0=n+1mx0-1,即(n+1)x0-my0联立①②可得x∴R3m(ii)∵kOR=-m2-n2+n+23m,kOP=nm,∴3nm=-m2-n设Q(x1,y1),则x12=9-9∴|PQ|≤|QD|+r=x12+(y1+4)2+32=9-9y12+y12+8y变式题解:(1)设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=82,可得(x+1)2+y2+(x-9)2+y2=82,化简可得(x-4)2+y2=16,所以点P的轨迹C的方程为(x-4)2+y2=16.(2)曲线C的方程为(x-4)2+y2=16,即x2+y2-8x=0.方法一:设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-8x+λ(x2+y2-8y)=0(λ≠-1),即x2+y2-81+λx-8λ1+又圆心在直线x-y-2=0上,所以41+λ-4λ1+λ所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y=0,即(x-3)2+(y-1)2=10.方法二:圆(x-4)2+y2=16的圆心为C(4,0),半径r=4.圆O2:x2+(y-4)2=16的圆心为O2(0,4),半径r2=4,因为|O2C|=42,|r-r2|=0<|O2C|<r+r2=8,所以两圆相交.由x2+y2由y=xx2=4,y2=4,所以两圆的交点为E(0,0),F(4,4).线段由y-2=所以所求圆的圆心为(3,1),半径为32+12=10,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y(3)由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-1.由(x-4)2+y2=16,x则Δ=100m2-36(m2+1)=64m2-36>0,得m2>916设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=10mm2+1,y1y由弦长公式可得|MN|=1+m1+m210又D(5,0)到直线x=my-1的距离d=61+m2,所以S△DMN=12|MN|·d=12令t=m2-916>0,则m2=t所以S△DMN=24tt2+2516=24t+2516t≤24所以△DMN的面积的最大值为485例4证明:(1)由已知得焦点F的坐标为(0,1),P(2,1)且直线l的斜率存在.设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,-1),D(x4,-1).由x2=4y,y=kx+1,得x2-4kx-4=0,则x1+x2直线AP的方程为y=y1-1x1-2(x-2)+1=x令y=-1,则x3=2-8x同理x4=2-8x2+2,所以x3+x44-84+(x1+x2)x1x2+2(x1+x2即x3+x4=-4k,x3x4=-4则以CD为直径的圆的方程为(x-x3)(x-x4)+(y+1)(y+1)=0,即x2-(x3+x4)x+x3x4+(y+1)2=0,整理得x2+4kx-4+(y+1)2=0,令x=0,得y=1或y=-3综上,以CD为直径的动圆过定点(0,1),(0,-3).(2)由(1)得x3+x4=-4k,则圆的圆心为-由y=kx+1,y=-综上可得,点G恰为(1)中圆的圆心.变式题解:(1)因为二次函数f(x)=x2+mx+n的图象与x轴交于两点,所以m2-4n>0,得4n<m2.设A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-m,x1x2=n.由二次函数f(x)=x2+mx+n的图象与y轴交于点C,得C(0,n),所以CA=(x1,-n),CB=(x2,-n),所以CA·CB=x1x2+n2=n+n2.设g(n)=n2+n,由二次函数的性质知,当n=-12时,g(n)取得最小值-1故CA·CB的最小值为-14(2)方法一:设经过A,B,C三点的圆为圆M,易知AB的垂直平分线的方程为x=x1+x22=-m2,AC的垂直平分线的方程为由x=-即M-m2,n+12,圆M的半径所以圆M的方程为x+m22+y-即x(x+m)+(y-n)(y-1)=0,当x=0,y=1时,上