全品高考备战2027年数学一轮学生用书12培优专训(六)立体几何中的融合、交汇问题【答案】作业手册

培优专训(六)立体几何中的融合、交汇问题1.解:(1)证明:由AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=1可知,△ABC为等腰直角三角形,AC=2,∠BAC=∠CAD=π4,又AD=2,所以CD2=AC2+AD2-2AC·ADcosπ所以AD2=AC2+CD2,即AC⊥CD.因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC.又因为CD⊂平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.(2)①依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,设M的坐标为(0,y,z),易知B(1,0,0),D(0,2,0),由MB2+MD2=1+y2+z2+(y-2)2+z2=5,化简得y2-2y+z2=0,即(y-1)2+z2=1,设线段PD的中点为N,则N(0,1,1),则动点M的轨迹是以线段AD的中点E为圆心,1为半径的圆的14,故动点M的轨迹长度为π②由①可设M(0,1+cosα,sinα),π2≤α≤π,P(0,0,2),C则BP=(-1,0,2),BD=(-1,2,0),CM=(-1,cosα,sinα),设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则BP·n取x=2,则n=(2,1,1),则sinθ=|cos<CM,n>|=|-2+sin-2+2-sinα+π46.因为π2≤α≤π,所以3π4≤α+π4≤5π4,所以-22≤sinα+π4≤22,所以222.解:(1)由题可知,正四棱柱MNEF-M1N1E1F1的外接球直径ME1=12+12+(2)2=2,所以外接球的半径R'=1,因此球心与点M,N构成正三角形,弦MN所对的过M,N两点的大圆的圆心角为π(2)(i)在直角梯形ABCD中,BC∥AD,∠BCD=90°,BC=12AD=1,DC=3,则BD=12+(3)2=2=AD,∠BDC=30°,所以∠ADB=90°-∠BDC=60°,所以△ABD为正三角形.在三棱锥P-BCD中,PH⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以BC⊥PH.因为BC⊥CD,PH∩CD=H,PH,CD⊂平面又PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC,所以PC=PB2-BC2=cos∠PDH=12PDCD=13,sin∠PDH=23,PH=PDsin所以点P到底面BCD的距离为26(ii)如图,取BD的中点O1,则O1为△BCD的外接圆圆心.设△PBD的外接圆圆心为O2,连接O1H,OO1,OO2,OB,O1P,由(i)知△PBD为正三角形,所以O1O2=13PO1=33,易知OO2⊥平面PBD,OO1⊥平面BCD,所以OO1∥PH,cos∠OO1O2=sin∠PO1H=PHP在Rt△OO1O2中,OO1=O1O2cos∠OO1O2=64,设三棱锥P-BCD的外接球半径为R,则R2=OB2=O1O2+O1B2cos∠COP=2R2-PC22R2=114-3114=-111,即∠COP是钝角,而cos47π100≈111,则∠COP≈π-47π100=3.解:(1)证明:由题设,知OF1=OF2=O'F'2=1,所以F2,F'2分别是OB,O'B'的中点,易知四边形ABB'A'为矩形,连接OB',如图,由B'F'2∥OF1,B'F'2=OF1=1,得四边形F1OB'F'2为平行四边形,则OB'∥F1F'2,连接PF2,因为P为BB'的中点,所以PF2∥OB',故PF2∥F1F'2,又PF2⊂平面PMN,F1F'2⊄平面PMN,故F1F'2∥平面PMN.(2)由题设,连接QF1,QF2,如图,令QF1=m,QF2=n,则m+n=4,又QQ'=4,所以tanα=4m,tanβ=4n,则tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=4(m+n所以tan(α+β)的最小值为-43(3)连接EF2,由题可知,VE-PMN=VM-PE在正方形ABB'A'中,P为BB'的中点,易得当E与A'重合时,F2P与EP垂直,此时△PEF2的面积最大,可得PF2=5,EP=25,则S△PEF2的最大值为12×在椭圆柱的下底面中建立如图所示的平面直角坐标系,易知B(0,2),则可得底面椭圆的方程为y24+设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线MN的方程为y=tx+1,与y24+x23=1联立得(3t2+4)x2+6tx-9=0,且Δ=144(t2+1)>0,所以x1+x2=-6t3t2而|x1-x2|=(x所以|x1-x2|=12t2+13t2+4,令l=t2+1≥1,则|x1-x2|=12l3l2+1=123由VE-PMN=VM-PE13S△PEF2·|x1-x2|,得0<VE-PMN≤5,故V4.解:(1)由直线l1的点方向式方程为x-13=y+22=-z可知直线l1的一个方向向量为m由平面α1的一般式方程为2x-3y+z+5=0可知平面α1的一个法向量为n1=(2,-3,1).设直线l1与平面α1所成的角为θ,则sinθ=|cos<m1,n1>|=m1·n1|m1|·|n所以cosθ=378,故直线l1与平面α1所成角的余弦值为(2)证明:由平面α2的一般式方程为2x+3y+z-1=0,可知平面α2的一个法向量为n2=(2,3,1).由平面β1的一般式方程为x-y-2z+4=0,可知平面β1的一个法向量为n3=(1,-1,-2).设两平面交线l2的方向向量为m2=(x0,y0,z0),则m令z0=1,可得x0=1,y0=-1,则m2=(1,-1,1).由平面γ1的一般式方程为(2m+1)x+(3m+2)y+(m+1)z-5=0,可知平面γ1的一个法向量为n4=(2m+1,3m+2,m+1).因为m2·n4=(2m+1)×1-(3m+2)×1+(m+1)×1=0,所以m2⊥n4,又l2⊄γ1,所以l2∥γ1.(3)由P(4,0,0),Q(3,1,-1),H(-1,5,2),可得QP=(1,-1,1),HP=(5,-5,-2).设侧面ABB1A1所在平面α3的法向量为n5=(x1,y1,z1)则QP令x1=1,可得y1=1,z1=0,则n5=(1,1,0).由平面β2的一般式方程为x+2y+z+4=0,可知平面β2的一个法向量为n6=(1,2,1).设平面α3与平面β2的交线l3(即直线BB1)的方向向量为m3=(x2,y2,z2),则m3·n5=x2+y2=0,m3由平面γ2