全品高考备战2027年数学一轮学生用书12第30讲余弦定理、正弦定理应用举例【答案】听课手册

第30讲余弦定理、正弦定理应用举例●课前基础巩固【知识聚焦】1.仰角俯角【对点演练】1.502m[解析]在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=又∠CBA=180°-45°-105°=30°,所以AB=ACsin∠ACBsin∠CBA=50×2.(303+30)m[解析]由题意知∠APB=45°-30°,所以sin∠APB=sin(45°-30°)=22×32-22×12=6-24.由正弦定理得ABsin∠APB=PBsin∠PAB,所以PB=ABsin30°sin∠3.23km[解析]依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,所以由余弦定理得AB=22+224.2003m[解析]由题意得BC=100tan15°-100tan75°=100×又tan15°tan75°=sin15°cos15°·sin75°cos75°=sin15°cos15°·5.200°[解析]根据方位角的概念可得点A的方位角为200°.●课堂考点探究例1[思路点拨]在△ACD中,利用∠ADC=30°,∠ACD=120°,得到∠ADC=∠CAD,求出AC,在△BCD中,利用正弦定理求出BC,在△ABC中,利用余弦定理求出AB.D[解析]因为∠ADC=30°,∠ACB=75°,∠ACD=120°,所以∠BCD=45°,∠CAD=30°.在△ACD中,因为∠ADC=∠CAD=30°,所以AC=CD=103.在△BDC中,∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,由正弦定理得BC=103sin75°sin60°=52+56.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(103)2+(52+56)2-2×103×(52+56)cos75°=500,所以AB=105,即基站A,变式题(1)B(2)C[解析](1)依题意,画出示意图如图,其中PM=40,∠MPC=135°,∠CMP=90°-75°=15°,在△PMC中,∠PCM=30°,由正弦定理得MCsin∠MPC=PMsin∠PCM,因此MC=40sin135°sin30°=402,所以乙船前往支援M(2)如图,由题可得CD=40,AD=20,BD=30,∠ACD=30°,∠CDB=60°.由CDsin∠DAC=ADsin∠ACD,得sin∠DAC=CD·sin∠则∠ADC=180°-90°-30°=60°,则∠ADB=120°,故AB=AD1019.故选C.例2[思路点拨](1)设山顶高于海面h米,由已知求得AC,BC,在△ABC中利用余弦定理求解即可得h的值.(2)根据题意可得PM=MNsin15°,在△FPM中利用正弦定理可求得PF=3MN1-(1)D(2)A[解析](1)由题可画出示意图如图,其中PC⊥平面ABC,∠PAC=45°,∠PBC=30°,∠CAB=120°.设山顶高于海面h米,由题意得AC=htan45°=h,BC=htan30°=3h,在△ABC中,因为AB=600,∠CAB=120°,所以由余弦定理得BC2AB2-2AC·AB·cos120°,即(3h)2=h2+6002-2×h×600×-12,即2h2-600h-360000=0,解得h=600或h=-300(舍去),所以该山顶高于海面600米.故选D(2)在Rt△PMN中,PM=MNsin15°.在△FPM中,∠∠FPM=180°-60°-15°=105°,则∠MFP=180°-105°-60°=15°,由正弦定理得PMsin∠MFP=PFsin∠PMF,则PF=sin∠PMFsin∠MFP·PM=sin60°sin15°·MNsin15°=32×MNsin215°=3MN变式题C[解析]在△CDB中,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-37°-68°=75°,则sin∠CBD=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24,sinsin37°=1-cos237°≈0.6,由正弦定理得CDsin∠CBD=BCsin∠CDB,可得BC=CD·sin∠CDBsin∠CBD.在Rt△ABC例3[思路点拨]设所需时间为t小时,用t表示出AB和CB,在△ABC中应用余弦定理可求出t,再用正弦定理可求出∠CAB,进而可得方位角.解:如图所示,设所需时间为t小时,则AB=103t海里,CB=10t海里,在△ABC中,∠ACB=45°+(180°-105°)=120°,由余弦定理得AB2=AC2+CB2-2AC·CB·cos120°,即(103t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°,整理得2t2-t-1=0,可得t=1,所以AB=103海里,CB=10海里.在△ABC中,由正弦定理得CBsin∠CAB=ABsin∠ACBCBsin∠ACBAB=10×32103变式题(1)B(2)AC[解析](1)如图,依题意知,在△ABC中,∠ABC=70°+35°=105°,AB=40海里,BC=402海里,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=402+(402)2-2×40×402×2-64=3200+16003,所以AC=3200+16003=20(6+2)(海里).由正弦定理得所以sin∠CAB=22,又因为∠CAB为锐角,所以∠CAB=45°,所以航行的方向和距离分别为北偏东65°,20(6+2)海里.故选B(2)如图,由题意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AB=126,AC=83,所以B=180°-60°-75°=45°.在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=AB