全品高考备战2027年数学一轮学生用书11增分微课8空间中的动态问题【正文】听课手册

“动态”问题是高考立体几何问题具有创新意识的题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,注重多想少算,强调思维能力与创新能力的考查.解决动态几何问题的关键是要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见动.类型一动点轨迹问题例1(1)(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 (A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1(2)[2025·湖南娄底押题卷]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱AB的中点,P为侧面ADD1A1内(包含边界)的动点,且CP⊥C1M,则动点P的轨迹长度为;当线段MP取最小值时,三棱锥P-MBC的外接球的半径R=.

总结反思解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法:(1)几何法:根据平面几何的性质进行判定.(2)定义法:转化为平面上的轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代数法进行计算.(3)利用函数观点探求轨迹,其中可以根据空间图形的线段长度关系取特殊值或特殊位置进行排除.变式题(多选题)[2025·广东佛山模拟]如图,已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为M,将四棱锥M-ADD1A1绕直线DD1顺时针旋转θ(0°<θ≤90°)之后,得到新的四棱锥M'-A'DD1A'1,则 ()A.∠MDM'=θB.当θ=90°时,四棱锥的顶点M运动的轨迹长度为22C.当θ=90°时,平面MDD1∥平面M'A'A'1D.存在旋转的角度θ,使得M,M',A,B四点共面类型二翻折问题例2[2025·全国二卷]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F.(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.

总结反思解答翻折问题的关键在于画好翻折前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的重要依据.变式题(1)[2025·江西九江十校联考]如图,在矩形ABCD中,AB=3AD=32,E在AB上且AE=2,将△ADE沿DE折起到△FDE,使得F∉平面BCDE,点G在线段CF上,若BG∥平面FDE,则CGCF的值为 (A.12 B.C.13 D.(2)(多选题)如图①,正方形ABCD的中心为O,边长为4,将其沿对角线AC折成直二面角D'-AC-B,如图②,设M为AD'的中点,N为BC的中点,则下列结论正确的有 () A.点A到平面MON的距离为2B.三棱锥D'-ABC外接球的体积为64πC.直线MN与平面ABC所成角的正弦值为6D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的表面积为5π类型三最值、范围问题例3(1)[2025·河南周口期末]如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,E为棱AA1的中点,点F,G分别在棱B1C1,BC上(含端点),若EF·EG=254,则线段FG长度的最小值为(2)[2025·河北张家口期末]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC的中点,若A1P=λA1B1,DQ=λDC1总结反思在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的取值范围等问题,常用的解题思路是:①直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解;②函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,再利用代数方法求目标函数的最值.变式题(1)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=BC=AA1=2,点P为侧面ABB1A1上的任意一点,则PC·PC1的取值范围是 (A.[0,2] B.[1,3]C.[2,4] D.[3,5](2)[2025·浙江台州期末]已知正