全品高考备战2027年数学一轮学生用书11培优专题(九)概率与其他知识的交汇问题【答案】听课手册

培优专题(九)概率与其他知识的交汇问题例1解:(1)由图知数学成绩不低于120分的人数为7,故数学成绩不低于120分的概率为710(2)由图知数学成绩不低于135分的人数为4,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=12,P所以X的分布列为X0123P1131故E(X)=0+12+2×310+3×130(3)设“甲同学在一轮测评中获得合格”为事件A,则P(A)=C32132×2设甲同学在n(n∈N*)轮测评中获得合格的次数为Y,则Y~Bn,由题意得E(Y)=727n≥5,解得n≥1357【自测题】解:(1)由频率分布直方图可知,从大量的A品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)=0.4+0.1=12,从大量的B品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)=0.3+0.1=2所以从大量的A,B两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品,其中至少有3件是优质品的概率P=C22×122×C21×25×35+C21×12×12×C2(2)由题意知,X的可能取值为-400,0,200,400,600,800,P(X=-400)=C22×310P(X=0)=C21×310×1P(X=200)=C21×310×1P(X=400)=C22×15P(X=600)=C21×15×1P(X=800)=C21×12故X的分布列为X-4000200400600800P933111则E(X)=-400×9100+0×325+200×310+400×125+600×1例2解:(1)补全2×2列联表如下.单位:人肥胖情况碳水摄入情况合计不控制碳水摄入控制碳水摄入肥胖4060100不肥胖2575100合计65135200零假设为H0:碳水摄入情况与肥胖情况无关联.根据列联表中的数据,经计算得到χ2=200×(40×75-60×25)265×135×100×100≈5.128>3.841=x0.05.根据小概率值α=0.根据列联表中的数据,不控制碳水摄入的学员中肥胖和不肥胖的频率分别为4065≈0.615和2565≈0.385,控制碳水摄入的学员中肥胖和不肥胖的频率分别为60135≈0.444和75根据频率稳定于概率的原理,我们可以认为不控制碳水摄入会增加变肥胖的风险.(2)从肥胖的学员中随机抽取1名学员,他不控制碳水摄入的概率P=40100=25,则X~BP(X=0)=355=P(X=1)=C5125×P(X=2)=C52252×353=216625,P(P(X=4)=C54254×351=48625,所以当X=2时,P(X)取最大值216625例3解:(因为|r|≈0.98,所以两个变量x,y线性相关程度很强.(2)由题意知随机变量X~B(5,p),由P(X=5)=P(X=4),可得C55p5(1-p)0=C54p4(1-p)1,即p5=5p4(1-p),因为p∈(0,1),所以p=5(1-p),解得故E(X)=5×56=256,D(X)=5×56×1-56=5×【自测题】解:(1)由表中数据可得x=3,y=90,因为∑i=15(xi-(2)若选方案一,则需付款1000-50=950(元).若选方案二,设需付款X元,则X的可能取值为600,800,900,1000,且P(X=600)=C33×143=164,P(X=800)=C32P(X=900)=C31×14×342=2764,P(X=1000)=所以E(X)=600×164+800×964+900×2764+1000×2764例4解:(1)乙在第二道题得分可分以下两种情况:甲在第一道题答对、第二道题答错;甲在第一道题答错、乙在第二道题答对.所以乙在第二道题得分的概率为p(1-p)+(1-p)q=(1-p)(p+q).(2)甲在四道题以内赢得比赛分以下两种情况:甲答前三道题得3分;甲答前四道题得3分.甲答前三道题得3分的概率为123=其概率为122×1-12×1-13+12×1-12×所以甲在四道题以内赢得比赛的概率为18+14=(3)随机变量X的可能取值为3,4,5,因为p+q=1,所以P(X=3)=p3+(1-p)3;P(X=4)=3p3(1-p)+3p(1-p)3,P(X=5)=C42p2(1-p)2=6p2(1-p)2,故E(X)=3[p3+(1-p)3]+4[3p3(1-p)+3p(1-p)3]+30p2(1-p)2=3+3p+3p2-12p3+6p设f(p)=3+3p+3p2-12p3+6p4,0≤p≤1,求导得f'(p)=3+6p-36p2+24p3=3(2p-1)(4p2-4p-1),由f'(p)=0,得p=12,当0≤p<12时,f'(当12<p≤1时,f'(p故函数f(p)在0,12故f(p)max=f12=33所以E(X)的最大值为338【自测题】解:(1)由题意,笔试和面试各题是否答对相互独立,所以甲笔试得满分的概率为p2q2=116,则pq=1又p=23,故q=14×32(2)由题意,甲至少答对3道题才能够进入面试,所以甲能够进入面试的概率f(p)=C21p(1-p)q2+C21q(1-q)p2+p由(1)知pq=14,则q=1则f(p)=2p×(1-p)×116p2+2×14p×1-14p×p2+p2×116p因为0<p<1,0<q<1,所以14<p<1,所以f(p)=18p+p2-316≥218p×p2-316=12-所以甲能够进入面试的概率f(p)的最小值为516,相应的p值为1(3)由题意,甲累计答对3道题或答