西南名校联盟高三上学期“333”高考备考诊断性联考（一）数学

西南名校联盟2026届高三上学期“333”高考备考诊断性联考（一）数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（

）A．2π， B．， C．2π， D．，3．已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．4．已知向量，，若与共线，则实数m=（

）A．1 B．1 C．2 D．45．已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（

）A．1 B． C． D．26．下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（

）A． B． C． D．7．已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（

）A． B． C． D．18．已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（

）A．的准线方程为B．C．直线的斜率为D．若三点共线，则的最小值为810．已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等D．点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是三、填空题12．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．13．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是．14．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为．四、解答题15．某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：一周参与志愿服务次数123456合计男生人数46643225女生人数11359625合计579912850(1)若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；性别志愿服务合计一般参与积极参与男生女生合计(2)若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：，．0.10.050.012.7063.8416.63516．在正项数列中，，．(1)证明：数列是等差数列；(2)记，设数列的前n项和为，证明：．17．如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且．(1)求证：平面；(2)若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．18．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足．①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程；②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点．19．已知函数．(1)若，，求在处的切线方程；(2)若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围；(3)在（2）的条件下，请找出与的关系，并证明：．参考答案1．B【详解】由交集的概念得，.故选：B2．B【详解】由解析式可知，由周期公式可得最小正周期为，初相为.故选：B3．C【详解】解法一：由题意，所以，解法二：由题意知，故选：C．4．D【详解】由题意得，，所以.故选：D．5．B【详解】如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得，又，在，，所以，又且N为OF中点，所以，即该双曲线为等轴双曲线，所以离心率；故选：B6．D【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10m，高为40m的圆柱的侧面的一部分.将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，.由扇形的弧长公式可知，，由圆柱的侧面积公式可知，所以，所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为.故选：D.7．A【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且，所以，即，又，所以，所以，，由余弦定理得，所以，即，故选：A．8．D【详解】由题意得，如图所示，因为，所以，所以，即，因为，所以原不等式化为，由图可知是R上的增函数，所以对恒成立，所以，则，即.故选：D．9．AD【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上，所以C的准线方程为，故A正确；对于选项B：令，得，所以，由抛物线定义得：，故B错误；对于选项C：由选项B知，所以直线OA的斜率为，故C错误；对于选项D：若B，D，F三点共线，则的最小值为通径，令得，所以，所以的最小值为8，故D正确.故选：AD．10．AB【详解】对于A，由题意得，则，故A正确；对于B，由，可得，解得，由等比数列前项和公式得，得到，故B正确；对于C，由等比数列性质得，，成等比数列，且，，得到，即，故C错误；对于D，由等比数列性质得，则，故D错误.故选：AB．11．ABD【详解】对于A，因为∥，所以.因为，所以，A正确；对于B，如图取中点O，连接，因为，所以，即，且；同理可得，，且；所以是等腰三角形.记，则为和的中点，所以，所以.因为平面，所以平面ACO.因为，所以过点.所以，为定值，所以B正确；对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，所以过点A的体对角线及过分别平行于的直线均满足要求，所以C错误；对于D，因为，所以点P在以的中点为球心，半径为的球面上，所以动点P的轨迹为平面与球的球面的交线.因为平面，所以平面，所以到平面的距离为.所以球心到平面的距离为，且球心在平面的投影为的中点.设平面截球所得截面圆的半径为r，则.所以点P在平面内的轨迹是圆，因此动点P的轨迹长度为圆的周长，等于，所以D正确.故选:ABD．12．【详解】令，解得，此时，所以函数（，且）的图象恒过定点．故答案为：13．【详解】先后抛掷两次正方体骰子，用数组表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数，则试验的样本空间为，其中共有36个样本点，由得，∴，满足题意的样本点共3个：，所以的概率.故答案为：.14．0【详解】由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则，即．令，得，，由于中，且，分析：由于，可知，又由于，且，所以零点的组合不能是或，故的组合只能是，这样只能是，，可计算得，满足题意，此时，．令，得或，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，则由单调性可知，的极大值为．故答案为：015．(1)填表见解析；认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系(2)分布列见解析；期望为【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：性别志愿服务合计一般参与积极参与男生20525女生101525合计302050零假设为：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关，根据列联表的数据计算可得，因为，所以，依据小概率值的独立性检验，认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系．（2）由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，的分布列为：，，，，，可得．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由，得，因为数列为正项数列，所以，即，又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，即，则，∴，∵，，∴．17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取的中点为，在上取点，使，连接，如图，因为是的中点，所以，，又因为，所以，，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，∴平面．（2）设，因为平面，是的中点，所以，即，所以分别取的中点，连接，如图，则，因为平面，所以平面，又因为为正三角形，所以，即两两垂直，以为轴建系，则，则，，设平面的一个法向量为，则，令，，平面ACD的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18．(1)；(2)①斜率之积为1或，证明见解析；②证明见解析.【详解】（1）由题意得，短轴长为，所以，解得，，所以，则，所以椭圆Γ的标准方程为；（2）与斜率存在且不为零，不妨设的方程为，联立，消去y，可得，设，，分别为的斜率，则，，所以，在的表达式中用“”代换“”可得，所以，则，所以，得，所以或．（ⅱ）由（ⅰ），M是AB中点，则，，即，将代换为，则，法1：直线MN为，即，则直线MN恒过定点得证．法2：记定点为点T，则，MN过定点得证.19．(1)(2)(3)，证明见解析【详解】（1）由，可得，则，又，则，所以在处的切线方程为，即.（2）由可知，，又，当时，，，恒成立，则在定义域内单调递增，仅有一个零点，与题意不符，舍去；当时，恒成立，则在定义域内单调递减，仅有一个零点，与题意不符，舍去；当时，由