定积分(与应用)习题及答案

第五章定积分

(A层次)

33.广一^=

1.JJsin.rcosxclx；2.

Jox2Vi77

f1xdx.5.『4

6.

J,Vx+14y/\—X—1

7.尸.8.r#_；9.J；Jl+cos2xdr；

J”x2+2x+2

10.jx4sinAZZV：11.J^4cos4xdx；

2

14.J：E必

13.15.^xarctgxdx；

jinx

16.f2e2Kcosxdx；17.J：(xsinx『公；18.^8111(111x\lx；

Jo

3sinx厂xsinx,

19.J5,-Vcosx-cosxdx20.4-------dx；21.--------：

I+sinxJo1+cos~x

«l+x-

22.f^xln—67.r；23.[f+------dx；24.f[2Insinxdx；

Jo1-xJ-l+x4J。

dx

25.dx(a>0)o

(1ix2^\ixa)

（B层次）

1.求由「d力+「cosE=0所决定的隐函数y对x的导数包。

°°cl.\

2.当X为何值时，函数/（"=£也才力有极值？

drCOST/

3.—cos（^Z~o

dx^mx

r+l,r<1

4.设/(x)={l2x〉］，求。（M

5工，

^^arct^dt

5.lim----f:—o

…dx2+1

6.设/(工)=,20"。工工工万，求小)=二/痴。

0,其它

—,当S0时

7.设市)="J求*(%-1粒。

—,当“<0时

U+/

8.

9.求㈣N一更

n+ne”

10.设/(x)是连续函数，且f(x)=x+2j(“k〃，求/3。

”・假设广冷春求

12.证明：V2/2<[3e-^dx<42o

13.limf—―-=V^x2e~2xclx,求常数。。

x-^>[x+a)J"

设加)=｛；¥'x<0

14.求「/(4-2〉人

x>0

15.设/(x)有一个原函数为l+siid-求广犷”人皿。

16.设/(x)=ax+〃一Inx,在[l,3]上/(x)N0,求出常数。，〃使."(人以丫最小。

17./(x)=e"，求£尸(百广(xg。

18.设f(x)=x2-x\^f(x)dx+2^f(x)dx,求f(x)。

19.£[/(cosx)cosx-/,(cosx)siirx^bc。

20.设x-0时，凡9=[卜2一/2)广«"的导数与/是等价无穷小，试求/〃⑼。

(C层次)

1.设Ax)是任意的二次多项式，g(x)是某个二次多项式，

=:/(。)+4/出+/(1)］,求口(加。

2.设函数/(x)在闭区间除同上具有连续的二阶导数，那么在(。力)内存在小使得

^f(x)dx=(b-a)f(+:伍一”)/6)。

3./(x)在［a,b］上二次可微，且f\x)>0,/"(x)〉0o试证

俗-a)f(a)<£7(A>.X<(/?-〃)/(”/⑷。

4.设函数/⑴在L㈤上连续，/'(X)在储㈤上存在且可积，/(4=/(〃)=0,试证

-\Jj/QL("1<。)。

5.设/(X)在［0,1］上连续，,，(.3¥=0,£v(^Xv=J,求证存在一点x，0<x<l,

使|/(">4。

6.设/(X)可微,/(0)=0,广(0)=1,&)=1"(/一/)〃，求吧)萼。

7.设f(x)在卜,可上连续可微，假设f(a)=/⑸=0,那么--门)(xjdxWmax|/1⑴。

\b-a)~Jaa-x-b

8.设f(x)在［A,B］上连续,AvacbvB,求证欣J：必工，二幺丸=/(〃)-/(a).

9.设/⑴为奇函数，在(-8,+oo)内连续且单调增加，F(A-)=£'(x-3r)/(r>,证明：

(1)F(A)为奇函数；(2)F(x)在［0.18)上单调减少。

10.设/⑴可微且积分的结果与x无关，试求/⑴。

11.假设广(x)在［0,乃］连续,/(0)=2,/㈤=1,证明：

I；［/(<)+/"(x)］sinxdx=3。

12.求曲线丫=］：(/-1)(1-2区在点(0,0)处的切线方程。

13.设f(x)为连续函数，刈任意实数。有「"'sinxf(x)cb:=0,求证/(2乃-x)=,/(x)。

Jfr-a

14.设方程2%-，虱¥-)，)=/01/〃〃，求

15.设/(%)在［a,上连续，求证:

普.；JVG+〃)一/(，小〃一/(x)-f(a)(a<x<b)

16.当xNO时，/(x)连续，且满足J："'"%)力=x,求/⑵。

17.设/(.I)在［0］］连续且递减，证明

可:正妆《］：仙依,其中"e(0』)。

r

18.设/'(X)连续，F(x)=£7(Z)/(2«-/>//,/(0)=0,/(a)=l,试证：F(2«)-2F(«)=10

19.设g(x)是［a,句上的连续函数,『a)=J：g(rW，试证在内方程g(%)-者=0

至少有一个根。

20.设了⑴在廉同连续，且/(外>0,又尸⑴=「/(/”,+「亮产，证明:

⑴9(x)>2⑵P(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根。

21.设/(%)在［0,2司上连续，那么『/(x>Zr=JJ/(x)+f(2a-x)依。

22.设/(工)是以不为周期的连续函数，证明：

J；”(sinx+x)f(x)dx=J。(2x+7r}f(x)dx。

23.设/(x)在［a㈤上正值，连续，那么在口力)内至少存在一点使

=0(加工=o

%八片)

24.证明jjnf(x+t\lt-J；+J01nv

小)

25.设4)在除“上连续且严格单调增加，那么(a+〃)［'/(x依

26.设/(x)在［“,〃］上可导，且/f(a)=0,那么?俗-a］。

27.设/(x)处处二阶可导，且广(x)20,又〃⑺为任一连续函数，那么

,(a>0)。

a+b

28.设/(x)在［a,上二阶可导，且/*(.r)<0,那么<(b-

F

29.设.f(x)在L㈤上连续，且/(x)20,。/(女团40,证明在以㈤上必有了⑴三0。

30.f(x)在口用上连续，且对任何区间卜洌u[a㈤有不等式

1/(不依WM/7-a/"(M,5为正常数)，试证在用上/(x)三0。

第五章定积分

(A)

1.2sinxcos5xdx

0

2

解：原式=cos3xdx"s'

44

2.[x2-x2dx

Jo

解：令x=asin/,那么(Zr=acos〃力

当x=0时，=0,当工=。时/=生

2

原式=0标sin21-ciccstacostdt

6dx

3.

1X24\+X2

解：令x=lgB,那么小：=sec2a/e

当x=l,G时。分别为三，-

43

原式川工产

4・小

解：令-5-4%=〃,那么/=之一,〃2,dx=--udu

442

当工二一|,1时，u=3,1

原式=k(5-〃2加=,

解：令G=t,dx=2tdt

当X=1时，r=l：当工=4时，t=2

原式1翁2"峰

Idx

6.2-x-l

解：令Jl-x=〃,那么x=l-〃Ldx=-2udu

3I

当x=—』时〃=—.0

42

原式邛凸du=2「"T+%=l-21n2

J。ll-\

dx

7.

1xjl+Inx

解：原式=「，।dln%=f',1d(l+lnx)

Jl+lnx)1V1+Inx

—

解：原式=R用片户="噩(”+碟2

9.fV1+cos2xiZr

Jo

解：原式=J。J2cos*xdx=J。|COSA|〃T

1().x4sin血(

-Jr

解：:/sinx为奇函数

14

/.xsinx〃r=0

J-X

11.J：4cos4Azzr

解：原式=4.2「cos4xdx=2jj(2cos2x)2dx

,Jx3sin2x.

12.------；——dx

7X4+2/+1

解「.导言为奇函数

13.17—^

qsinx

n

解：原式=-J：xdctgx

「•》Inx

14.dx

解：原式=2j]ln.xz/6

15.^xarclgxdx

解：原式=gJ,arc/gx。/

16.e2xcosxdx

Jo

解：原式二^/公山工

故J,e2xcosxdx=-(e,x-2)

o5

17.J。(xsinx)泣r

解：原式=「(xsinx)2dx=JJx2--""2K小

oo2

18.jrsin(lnx)dx

解：原式=xsin(Mx)：-j〉cos(lnX)—dr

故J：sin(in=g(sin1—cosl+1)

19.J\7cosx-cos3xdx

H____________

解：原式二J：-Jcos^(l-cos2xjdx

~4

rsinx

20.4----：-dx

Jo1+sinx

解：原式d7s九

21.「心警dx

"1+COS-X

解：令x=^T,那么

2

,2i1+4j

22.rln---dx

°\-x

解：原式=曲考

23.广上7al

J-8]+X

12~7+1

解：原式=1+'dx=2(T---dx

JoJ/Jo12

24.fInsinAY£V

Jo

解：原式=J，ln(2sin2—cosfdx空2「：(ln

2+Insinz+Incos，)力

。I22)。

故JJinsinxdx=-^In2

25.训

解：令x=1,那么公=\dt

tr

原式二J：

.dx_「+8dx/5xudx

・,Jo(\+x2^+xa)~^(l+-Xl+/)+Jo(\+x2^+xa

41dx_7t

改J。(1+/，1+丁)二

(B)

1.求由J；eZ〃+J；costdt=0所决定的隐函数y对x的导数包。

解：将两边对工求导得

.dycosx

••—

dxey

2.当x为何值时，函数/。)=J1/'力有极值？

解：，'(元)=xe~x>令/'(X)=0得工=0

当x>0时，/Z(A)>0

当xvO时，/'(x)<0

・••当x=0时，函数/(x)有极小值。

3,为:；。词'。

解：原式=1[『'(cosm%/]

X+1,x<\

4.设f(x)=(]2

x>r求。(梃。

5'，

解：。(x)dx=g+l)dx+「#dx

J(arctgt)2dt

5.liino/二—

…Vx2+1

[yarct^dty■y

fflT：hm------,一Rhm-----J——

XT+X>2.=^=X->-HO1/1\--

Nx+1-L2+lp2x

2、7

6.设川)=,/山"求加)=「/(加。

0,其它

解：当x<0时，Ex)=「/(/>〃=「0力=0

当0工x<4时，0(x)-J'gsintdl---0；，

当x>4时,*(x)=]*：/(，M，=JJ/(，)力+J'/(，"=J：〈sin/力+『Odt=1

0,当<0时

故0(x)=.g。—COSX),当0<x<别寸O

1,当X>加寸

1

当x>0时

7.设/⑴=「丁

当x<。讨

-,当xNl时

解：f(x-\)=^x

-一门，当％<1时

\+e

8.lim-Xr\y/n+42n+---+7«^)o

解：原式=国收+t+一利:

£

9-求!吧’上至。

n+nen

k

解；原式=1皿Z一^^上

—n

*“+e〃

10.设/(x)是连续函数，1L/(x)=x+2j：/(/k〃，求/(x)。

解：令/：/("〃=A,那么/U)=x+2A,

从而Jo/(")公=J：("+2AMr=g+2A

即A=—F2A,A=—

22

/.f(x)=x-\

11.假设「""-^=9,求X。

J，77^16

解：令Je'—1=〃,那么r=ln(l+〃2),dt——2"，du

\+ir

当f=21n2时，u=y[3

当f=工时，u=>lex-1

2In2dtf62udu|V3

K

从而x=In2

12.证明

证：考虑*，丧上的函数y=/，那么

y'=-2xe~x,令V=0得x=()

当xe一后Oj时，y>o

当xe2

，,-1--

y=e'在x=0处取最大值y=l,且y=el在x=±五处取最小值e2

I」

故j叶e2dxve~xdx<j4\dx

」_L

即5<「；Idx<>/2o

x-a

13.lim=\^xze~2xdx,求常数a。

x+a)Ja

解：左端

X—x+a

右端=J：(-lx2e-2xM-2A)=J：-lx2de-2x

・・・(2〃2+2〃+1卜2“=0-2"

解之4=0或4=一1

I+x2,X<0.、(*3/、

14.设共0，求1於-2爪

解：令工-2=/,那么

15.设/(x)有一个原函数为1+siMx,求仁矿(2x)dx。

解：令2x=/,/(x)=(1+sin2x)=sin2x

16.设/(x)=ax+〃一Inx,在［l,3］上/(x)之0,求出常数a,〃使，。(工区最小。

解：当J；/(不/最小，即上如+/?-Inx)cb:最小，由/(x)=以+〃一Inx2()知，y=ax+b

在V=lnx的上方，其间所夹面积最小，那么)，="+〃是)，=lnx的切线，而)/=L设切

x

点为Go,In%),那么切线y=-!~(不一工0)+111工0,故〃=。=Inx。-1。

犷+可

于是/=J：(ax+b-Inx)dx=1J'3

71

令/：=4——=0得”一

a2

从而x(>=2,Z?=hi2—1

又/：=1>0,此时［小址最小。

17.f(x)=e-x\求工/'(4rCr>/x。

解：/(6=_2/

18.设-求/(3)。

解：设Jo/(")'”=A，j()=B,那么/(x)=--fit+2A

A=Jf(x)dx=J(x2-Bx+2A)tZv=---B+2A

003

.•・B=\j[x}clx=J储-Bx+2A"=g-28+4A

解得：4=1,13=-,于是

33

19.£[/(cosx)cosx-y^cosxjsin2x\:bc。

解：原式二J(/(cosx)cosx«<r+j(>sinA//(COSAJJCOSX

20.设XTO时，Wx)=£G一产卜(小〃的导数与是等价无穷小，试求/〃⑻。

3

故/"(0)=3

(0

1.设/(A)是仟意的二次多项式，g(X)是某个二次多项式，

。LI

解：设x=0-a)f+a,那么

令g他-力+")=/(/)

于是/(0)=g(a),/(£=，/(O=g(b)

由得/)+曲径等］+89)

6L\2；_

2.设函数/(x)在闭区间［〃/］上具有连续的二阶导数，那么在(〃,〃)内存在使得

\j［x}dx=(b-a)f+(仅一〃)",⑥。

证：由泰勒公式

其中Xo，xe(a/),J位于与与x之间。

两边积分得：

=(b-a)f[+(0-〃)""仁),€e(a,b)。

\2J24

3./(x)在上二次可微，且fU)>0,/"(x)>0。试证

(〃-a)f(a)<^f(x)d.x<(b-"叱/⑷。

证明：当xe(a㈤时，由广(%)>0,广(x)>0知/⑺是严格增及严格凹的,从而

/(*)>加)及/G)</(«)+一”")(x-a)

"2b-a

故「/(大皿〉\hf(a)dx=(b-a)f(a)

Java

4.设函数f(x)在［a㈤上连续，尸⑴在卜㈤上存在且可积，/1)=/(〃)=0,试证

|/㈤工3J：，(小［a<x<b).

证明:因为在［a㈤上下(X)可积,故有

而/⑴=「尸"上",一/⑴"J：MW

于是f(x)=；［「/0〃-J：/(M

5.设/(x)在［0,1］上连续，J：f(xW=0,「V(x"=l,求证存在一点x,0<x<l,

使|/(">4。

证：假设<4,xe［0,1］

由j：/(x)/r=0,J：M=1,得

故一)/("公=4J：x-：公

乙乙

从而］；%-3>⑸-4bx=0

・W(*4=。

因为了⑴在［0,1］连续，那么/(>)=4或/⑴=-4。从而二/(X)公=4或一4,这与

J；/(Rr=0矛盾。故>4o

22

6.设“I)可微，f(o)=o,r(o)=i,F(X)=j(y(x-/^r,求呵华L

解：令/T2=“，那么/^x)=gJ；f(u)du,显然9(x)=xf(x2)

工且「尸(6r尸3r/(1)../(x2)-/(0)1,,小1

于是lim-=lim-=lim、、=Imi」-=—/(0)=—«

D/…4/34J工-D4(x~-0J4,4

7.设/(X)在L㈤上连续可做,假设/⑷=f(b)=0,那么fV(A-K<max/("。

\b-ayia助

证：因/(x)在b㈤上连续可微，那么/⑴在4等和晋力上均满足拉格朗口

定理条件,设M=i?ax|/Q),那么有

4

故Jj/O沁VM

3-d

8.设f(6在[A,同上连续,A<a<b<B,求证物厂及上生幺必=/3)一/(〃)。

证：J叮(5+?-.f(x)公=/『/a+qm一:『f(x*k

令x+k=u,那么J/(X+k)dx=J

于是

故lim‘〃•'+[)―/(•"/(=lim—fWf[x}clx-lim—f+*f(x)clx

£->oJ"k£T。k)b£->0&Ja

9.设/⑴为奇函数，在(-8,+00)内连续旦单调增加，网工)=JO'(X-3，)/“M，证明：

(1)F(x)为奇函数；(2)F(x)在［。”)上单调减少。

证：(1)尸(-x)=J。'(一x一3"卅匕/1一J；—(一x+3")/(—

・•・F(x)为奇函数。

(2)尸⑴=何"(/0-3(确)可

由于/(A)是奇函数且单调增加，当x>0时，/(A)>0,

j()'［/(r)-/(x)}/r<0(,.,0<r<x),故尸(x)<0,xe(0,+oo),即F(x)在［0,+CO)上单调减少。

10.设/⑴可微且积分皿的结果与工无关，试求/⑴。

解：记二［/(工)+玳.%〃=。，那么

由f(x)可微,于是

解之/a)=h-x[k为任意常数)

11.假设/"(X)在[0,乃]连续，/(0)=2,/伍)=1,证明:

£[/(x)+/*(x)]sin^=3o

年尾：因J。f"(x)sinxdx=J()sinxdff(x)

所以Jo[/⑴+/"(x)kmxdx=3。

12.求曲线y=JJr-lXr-2)f〃在点((),())处的切线方程。

解：/=(X-1XA-2),那么了(0)=2,故切线方程为：y—0=2(x—0),

即y=2xo

13.设/(1)为连续函数，对任意实数”有「4111犷(1%:=0,求证/(2乃-x)=/(x)。

证：两边对。求导

即/(乃+。)=/(乃一。)

令a=4一x,即得/(2/r-A)=/(x)o

14.设方程2x--y)='see2tdt,求1一。

解：方程两边对工求导，得

从而y，=1-cos2(x-y)=sin2(x-y)

15.设/(x)在[a,同上连续,求证:

'£'[/0+〃)-/(，皿=f(x)~f(ci)(a<x<b}

证：设F(x)为f(x)的原函数,那么

左边=lim—[F(x+h)-F(a+/?)-F(x)+尸(〃)]

JO,h

=/(*)一/(。)=右边。

16.当x20时，/(x)连续，且满足「如'》⑺力=x,求/(2)。

解：等式两边对“求导，得

令/(1+x)=2得x=l

将x=l代入得:/⑵5=1

故/⑵二；。

17.设/(x)在[0,1]连续旦递减，证明

可:/(Ri-]；/(%J其中;IG(0.1)°

证：可;/(H/=4「/⑹伙+’/(”闷

那么X^f[x}clx-f(x)cbi

=2(l-A)/fe)+2(Z-lM),^e(2,l),且e((M)

由于/（x）递减，

故可：/3公一J：/（x依3o

即«J；"（Ha。

18.设/卜）连续，尸（工）=£川）/'（2々-a〃，/（0）=0,/®=1,试证：F（2«）-2F（«）=lo

证：F[2a）-2F[a）=J：/（2〃-加-21"（“尸（2a-i）dt

在第一个积分中，令2々-，=〃，那么

而-。”-/（2a）/（0）+二⑷=1

故尸(2a)—2E(a)=l

19.设g⑴是㈤上的连续函数,/(x)=J：g(，M，试证在（《/?）内方程g（x）-=0

b-a

至少有一个根。

证：由积分中值定理，存在使

即上）逑=。

b-a

故J是方程g（x）-胆=0的一个根。

b-a

,又尸a）=j：「A"押

20.设f（x）在。“连续，且.3>0证明:

⑴/⑴>2⑵F（x）=0在■㈤内有且仅有一个根。

讦：(1)Fr(x)=f(x)+y^>2

（2）"）=疗产<。，F[b}=^f(t)dt>0

又F（x）在[a,b]连续，由介值定理知F（x）=0在（。㈤内至少有一根。

又P(*)AO,那么/(x)单增，从而尸(%)-0在(a㈤内至多有一根.

故F(x)=0在(〃力)内有且仅有一个根。

21.设/（1）在［0,2司上连续，那么『/（1依=］：［/（工）+/（24-刈公。

证：J：,々Mx=J"（训+

令x=2a-u»dx=-du»那么

故J：/（*r=JJ/（x）+f（2a-x）Z

22.设/(.i)是以不为周期的连续函数，证明：

J；(sinx+x)f(x)dx=£'(2x+6f(x)dx。

证：J。(sinx+x)/(x)rZv

令x=4+〃，那么

=J：(〃+乃一sin〃)/(〃"〃(•・'/(x)以7r为周期)

故j：(sinx+x)f{x}dx=J()(2x+1)f(x)dx

23.设f(x)在［a,可上正值，连续，那么在［a⑹内至少存在一点使

£/(x>Zr=£7(A>ZV=gj：/o

证：令F(x)=J：〃小

由于％e［a,“时,f(x)>0,故

故由零点定理知，存在一点使得产（3=0

即「〃）力-。口”:（）

又f/（*T=「/（工B+=2jj/（x>Z