小学数学第六章　§6.2　6.2.4　向量的数量积(二)

6.2.4向量的数量积(二)学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.一、向量数量积的运算律问题1阅读课本第20-21页，请利用向量数量积的定义证明(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).问题2分配律的证明中应用的最关键的知识点是什么？问题3对于任意向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？知识梳理对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).例1(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们两两不共线，给出下列结论，正确的是()A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2反思感悟(1)多项式乘法与向量数量积运算的联系多项式乘法向量数量积(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2a·b+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2a·b+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)·(a-b)=a2-b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·aa2+b2=0⇔a=b=0a2+b2=0⇔a=b=0(2)向量数量积的运算律说明，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的混合运算，但是我们也应该注意数量积的运算与多项式的运算的区别，比如向量数量积运算中a·b=|a||b|cosθ，而实数的运算中则没有夹角θ.跟踪训练1已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a与-b的夹角为π4，则(a-b)·(2a+b)等于(A.1 B.3 C.-1 D.-5二、利用数量积求向量的模和向量的夹角例2已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a.(1)求向量a与b的夹角；(2)求|3a+b|.反思感悟(1)求解向量模的问题主要有两种方法，一是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=a2求解；二是在平面图形中求向量的模时，需要利用图形性质对向量的数量积或夹角进行适当的转化(2)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ=a·b|a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解跟踪训练2(1)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a·(a-2b)=0，则|a+b|等于()A.6 B.4 C.6 D.5(2)若非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)，则a与b的夹角为()A.π4 B.π3 C.2π三、与垂直有关的问题例3已知非零向量a，b满足4|a|=3|b|，a与b夹角的余弦值为13，若(xa+b)⊥b，则实数x等于(A.-4 B.-94 C.4 D.延伸探究若本例中的条件不变，将(xa+b)⊥b改为xa+b与b的夹角为锐角，求x的取值范围.反思感悟(1)解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量).(2)a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不同向共线；a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不反向共线.跟踪训练3已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？1.知识清单：(1)向量数量积的运算律.(2)利用数量积求向量的模和夹角.(3)与垂直有关的问题.2.方法归纳：类比法.3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律.1.已知菱形ABCD的边长为1，若∠BAD=60°，则|AB+2BC|等于()A.3 B.2 C.5 D.72.设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=7，则a，b的夹角为()A.π3 B.π6 C.π43.已知平面向量a，b的夹角为2π3，|a|=1，|b|=2，则a·(a+b)等于(A.3 B.2 C.0 D.1+34.已知等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB与BC的中点，则AE·DE=.

答案精析问题1证明如下：(1)设a，b的夹角为θ，则b，a的夹角也为θ，∵a·b=|a||b|cosθ，b·a=|b||a|cosθ，∴a·b=b·a.(2)当λ>0时，(λa)·b=λ|a||b|cosθ，λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，a·(λb)=λ|a||b|cosθ；当λ<0时，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ，λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ；当λ=0时，(λa)·b=0·b=0，λ(a·b)=0，a·(λb)=a·0=0.∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).问题2投影向量.问题3不一定成立.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立.例1ACD跟踪训练1A例2解(1)因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0，即1+1×2×cos〈a，b〉=0，即cos〈a，b〉=-12因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=2π3(2)|3a+b|=(3=9=9+6×(-1)+22=跟踪训练2(1)C(2)C例3A延伸探究解设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t，∴(xa+b)·b=xa·b+|b|2=(4x+16)t2>0，又t>0，∴x>-4，当xa+b与b同向时，令xa+b=mb(m>0)，即xa=(m-1)b，解得m=1，x=0.∴x的取值范围为x>-4且x≠0.跟踪训练3解(1)由向量c与d垂直，得c·d=0，而c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-6