小学数学第六章　§6.3　习题课　平面向量中的最值与范围问题

习题课平面向量中的最值与范围问题学习目标会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.一、线性运算中的最值与范围问题例1(1)已知向量a=(2，1)，b=(-1，1)，c=(m-2，-n)，且(a+b)∥c，则mn的最大值为()A.1 B.2 C.22 D.4(2)在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=14BC，点E为AD上任意一点(不包括端点)，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则1x+2y的最小值为A.22 B.43C.4+23 D.9+42反思感悟综合运用向量的线性运算、平面向量基本定理以及向量共线的充要条件等知识，把所求问题转化为函数问题或基本不等式问题，从而借助函数的性质或基本不等式求最值与范围.跟踪训练1如图，延长线段AB到点C，使得AB=2BC，D点在线段BC上运动，点O不在直线AB上，满足OD=λOA+μOB，则λμ的取值范围是()A.-32，C.-34，0 D.[二、向量数量积的最值与范围问题例2在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=π3，点P在边CD上，则PA·PB的取值范围是(A.[-1，8] B.[-1，+∞)C.[0，8] D.[-1，0]反思感悟建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围.跟踪训练2已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是()A.-8 B.-32 C.-163 D三、向量模与夹角的最值与范围问题角度1向量模的最值(范围)例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(c-a)·(c-b)=0，则|c|的最大值是()A.1 B.2 C.2 D.2反思感悟求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|=a2转化为函数或基本不等式求解跟踪训练3在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，P是腰AD上的动点，则2PB-PC的最小值为角度2向量夹角的最值(范围)例4已知平面向量a，b满足a-b=3，|a|=2|b|，则当a-b与a的夹角取最大值时，|a|等于(A.2 B.3 C.22 D.23反思感悟将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数或基本不等式求最值或范围.跟踪训练4已知向量a，b满足a=(t，22-t)，|b|=1，且(a-b)⊥b，则a，b夹角的最小值为()A.π6 B.π4 C.π31.知识清单：(1)线性运算中的最值与范围问题.(2)向量数量积的最值与范围问题.(3)向量模与夹角的最值问题.2.方法归纳：转化与化归，数形结合.3.常见误区：函数的最值范围问题的计算.1.已知向量a=(1，0)，b=(cosθ，sinθ)，θ∈-π2，π2，则|a+bA.0，2C.2，22.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=π2，F是线段AB上的点，则FA·CF的取值范围是(A.-3，0C.0，23.已知平面向量a与a+2b的夹角为30°，则|a||bA.12 B.2 C.44.平面向量a，b满足|a|=1，b-32a=1，记〈a，b〉=θ，则sinθA.23 B.53 C.1

答案精析例1(1)B[由题意得，a+b=(1，2)，c=(m-2，-n)，因为(a+b)∥c，则-n=2(m-2)，即n=4-2m，所以mn=m(4-2m)=-2(m-1)2+2≤2，当且仅当m=1，n=2时等号成立.综上，mn的最大值为2.](2)D[由题意得，BD=14BC则BC=4BD，所以BE=xBA+yBC=xBA+4yBD，由A，E，D三点共线可得，x+4y=1，且x>0，y>0，所以1x+2y=1x+2yx=9+42，当且仅当4yx=即x=22-17，y=4-跟踪训练1C例2A[由题意，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=π3以A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(1，3)，设P(x，3)，则1≤x≤5，所以PA=(-x，-3)，PB=(4-x，-3)，所以PA·PB=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1，设f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在[1，2)上单调递减，在[2，5]上单调递增，所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8，所以PA·PB的取值范围是[-1，8].]跟踪训练2B例3C[由题意得|a|=|b|=1，a·b=0，则|a+b|=a2+b2+2a·b=2，设a+b与c的夹角为θ，则(c-a)·(c-b)=c2+a·b-c·(a+b)=|c|2-|c||即|c|2-2|c|cosθ=0，又c为非零向量，则|c|=2cosθ，故当cosθ=1，即a+b与c同向时，|c|取得最大值，最大值是2.]跟踪训练33例4D[因为a，b满足a-b|a|=2|b|，所以a-b=a2-2a·b+b2=4|b|2-2a·b+|b|2=9，所以a·b=5|所以a-b·a=|a|2-a=4|b|2-5|b|2-9则cos〈a-b，a〉=a=3|b|22+≥214|b当且仅当14|b|=3即|b|=