小学数学第六章　§6.4　培优课　三角形中的几何计算

培优课三角形中的几何计算学习目标正、余弦定理本身就是研究几何图形的边长、角度及面积的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边创造的互补或互余的关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.解三角形问题还常常与基本不等式、向量、三角函数及三角恒等变换等知识综合考查.一、三角形中的中线问题求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是边BC上的中线.(1)中线长定理：AB2+AC2=2(BD2+AD2)；(2)向量法：AD2=14(b2+c2+2bccosA例1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosB+C2=a(1)求A；(2)若a=19，BA·AC=3，AD是△ABC的中线，求AD的长.二、三角形中的角平分线问题求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC交BC于D.(1)利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD；(2)内角平分线定理：ABAC=BD(3)等面积法：S△ABD+S△ACD=S△ABC，AD=2bccos∠BAC例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=2π3，b=23，b2+c2-a2=3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE等于(A.6 B.7 C.22 D.3(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠c)，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=2，则()A.ac=a+c B.ac=2a+cC.ac=a+2c D.ac=2a+2c三、三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围).例3(1)(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=4，C=π3，则下列选项正确的是(A.△ABC外接圆的半径为4B.△ABC面积的最大值为43C.a+bD.a2+b2的最小值为32(2)已知在△ABC中，A=2π3，BC=3，则△ABC周长的最大值为

答案精析例1解(1)因为cosB+C=cosπ2-A2所以bsinA2=asinB由正弦定理得sinBsinA2=sinAsinB因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinA2=sinA所以sinA2=2sinA2cos因为A∈(0，π)，A2∈0所以sinA2≠0得cosA2=12，即A2所以A=2π3(2)因为BA·AC=3，所以bccos(π-A)=3，得bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，则b2+c2=a2+2bccosA=13，因为AD=12(AB+AC)，所以|AD|2=14(AB+AC)2=14(c2+b2+2bccosA)=即AD的长为72例2(1)A[因为b2+c2-a2=3bc，所以cos∠BAC=b2+c因为B=2π3，所以∠BAC∈0所以∠BAC=π6，所以C=π所以csinπ6所以c=2332×因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=12∠BAC=π所以∠AEB=π-2π3-π12=所以csin∠AEB=所以AE=2sinπ4×=222×32=(2)D[如图所示，因为S△ABC=S△BCD+S△ABD，所以12ac·sin=12×2×asin60°+12×2×csin即34ac=32a+3所以ac=2a+2c.]例3(1)ABC[对于A，由正弦定理得2R=csinC=833，所以△ABC外接圆的半径R=对于B，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时，等号成立，即ab≤16，所以△ABC面积的最大值Smax=12×16sinπ3=43，故B正确；对于C，由正弦定理得a+又sinC=32，sinB=sin2π3-A=32cosA+所以a+bc=233sinA+32cos又0<A<2π3，所以π6<A+π6<5π6，所以当A+π6=π2，即A=π3时，a+bc取得最大值，最大值为2，故C正确；对于D，由余弦定理得16=a2+b2-ab≥所以a2+b2≤32，当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+b2的最大值为32，故D错误.](2)3+23解析方法一由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23，从而AC=23sinB，AB=23sin(π-A-B)=23sinπ3-B=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+π3.又0<B<π3，所以π3<B+π3<2π3，所以当方法二由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos2π3即9=AC2+AB2+AC·AB，所以