21　函数的概念及基本性质

专题二函数及其性质2.1函数的概念及基本性质目录五年高考三年模拟天津专练全真全练练基础练综合五年高考天津专练1.(2024天津,4,5分,易)下列函数是偶函数的为

（）A.y=

B.y=

C.y=

D.y=

B

解析对于A,设f(x)=

,函数定义域为R,f(-x)=

,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,故A不符合题意;对于B,设f(x)=

,函数定义域为R,f(-x)=

=

=f(x),则f(x)为偶函数,故B符合题意;对于C,设f(x)=

,则f(-x)=

,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,故C不符合题意;对于D,设f(x)=

,函数定义域为R,f(-x)=

=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故D不符合题意.2.(2019天津理,8,5分,难)已知a∈R.设函数f(x)=

若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为

（）A.[0,1]

B.[0,2]C.[0,e]

D.[1,e]

C

解析由f(x)≥0在R上恒成立,可得f(x)在x≤1时与x>1时,最小值均大于0.(1)当x≤1时,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,其图象的对称轴为直线x=a,顶点坐标为(a,2a-

a2).(讨论对称轴的位置,确定最小值)①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)min=f(1)=1>0,符合题意;②若a≤1,则f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,解得0≤a≤2,所以0≤a≤1.综合①②可知,a≥0时,f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立.(2)当x>1时,lnx>0,f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤

恒成立.令g(x)=

,g'(x)=

,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0≤a≤e,故选C.小题速解对照选项,对a进行取值,验证f(x)≥0在R上是否恒成立,进行排除.当a=0时,f(x)=

显然f(x)≥0,故排除D.当a=e时,f(x)=

经验证,f(x)≥0,故排除A,B,故选C.解后反思求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上恒成立⇔f(x)min≥a,f(x)≤a在R上恒成立⇔f(x)max≤a;二是讨论分析法,根据

参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.考点一函数的概念及表示全真全练1.(2022北京,11,5分,易)函数f(x)=

+

的定义域是____________________.

(-∞,0)∪(0,1]

解析由题意得

解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].2.(2022浙江,14,6分,难)已知函数f(x)=

则f

=_________;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是___________.

3+ 

解析∵f

=-

+2=

,∴f

=f

=

+

-1=

.f(x)的大致图象如图.

∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,∴由图可得b>1且b+

-1=3,∴b=2+

,∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+

-(-1)=3+

.一题多解第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2,∴f(x)=3⇒x+

-1=3(x>1),故x=2+

.令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,令x+

-1=1(x>1),无解.∴amin=-1,b=2+

,∴(b-a)max=2+

-(-1)=3+

.1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为

（）A.f(x)=-x

B.f(x)=

C.f(x)=x2

D.f(x)=

D

考点二函数的单调性与最值解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x)=

,由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C

不符合题意;对于f(x)=

=

,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2

x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是

（）A.(-∞,-2]

B.[-2,0)C.(0,2]

D.[2,+∞)

D

解析

f(x)=2x(x-a)=

,由复合函数的单调性知函数y=

-

在(0,1)上单调递减,所以

≥1,解得a≥2,即a的取值范围是[2,+∞),故选D.3.(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=

在R上单调递增,则a的取值范围是

（）A.(-∞,0]

B.[-1,0]

C.[-1,1]

D.[0,+∞)

B

解析当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R

上单调递增,所以

则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B.示本题容虑当x≥0时,函数f(x)是增函数,及当x<0时,函数f(x)是增

函数,从而得到a≤0,而忽视了函数分界点处的函数值大小.4.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=

.记a=f

,b=f

,c=f

,则

()A.b>c>a

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>bA

解析∵f(x)=

是由y=eu和u=-(x-1)2两个函数复合而成的,∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,又知f(2-x)=

=

=

=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f

=f

,又∵

<2-

<

<1,∴f

<f

<f

,即a<c<b,故选A.考点三函数的奇偶性1.(2022北京,4,4分,易)已知函数f(x)=

,则对任意实数x,有

（）A.f(-x)+f(x)=0

B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1

D.f(-x)-f(x)=

C

解析∵f(x)=

,∴f(-x)=

=

,∴f(x)+f(-x)=

+

=1.故选C.一题多解若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排

除.当x=0时,f(0)+f(0)=

+

=1,f(0)-f(0)=0,故排除A,D选项.当x=1时,f(-1)-f(1)=

-

≠0,故排除B选项.根据排除法可知选C.2.(2025全国一卷,5,5分,易)已知f(x)是定义在R上且2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)

=5-2x,则f

=（）A.-

B.-

C.

D.

A

解析

由f(x)是定义在R上且2的偶函数得,f

=f

=f

=f

,又当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f

=f

=5-2×

=-

.故选A.3.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln

为偶函数,则a=（）A.-1

B.0

C.

D.1

B

解析

解法一:∵f(x)为偶函数,定义域为

∪

,∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln

=-(a+1)ln3,f(-1)=(a-1)ln3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0.解法二:f(-x)=(-x+a)ln

=(-x+a)ln

=(x-a)ln

,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴x+a=x-a,即a=0.4.(2021全国乙理,4,5分,中)设函数f(x)=

,则下列函数中为奇函数的是

（）A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

B

解析

解法一:f(x)=-1+

,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A,f(x-1)-1=

-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=

,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=

,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=

,此函数为非奇非偶函数,故选B.考点四函数的和对称性1.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则

f(k)=

（）A.-3

B.-2

C.0

D.1

A

解析

解法一:令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,用x+1代替x得f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①+②

得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以用x+1代替x得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以

f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.解法二:因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,所以令x=1,y=0,可得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数.同解法一可得f(x)的6,f(x+2)+f(x)=f(x+1),所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0.所以

f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A.2.(2022全国乙理,12,5分,难)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)

=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则

f(k)=

（）A.-21

B.-22

C.-23

D.-24

D

解析由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,

得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2

④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为数.对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2,f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑤,对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑥,由⑤⑥,得f(1)=-1.对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以f(0)=1.对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,所以f(2)=-3.则

=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D.名师点睛含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,需要根据已知条件

进行恰当的转化,得到所需的一些数值或关系式,从而解题.三年模拟练基础1.(2025天津部分区二模,4)已知函数y=2ax3(a<0),则此函数是

（）A.偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减B.偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增C.奇函数,且在区间(-∞,0)上单调递减D.奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增

C

解析设f(x)=2ax3,其定义域为R,因为f(-x)=2a(-x)3=-2ax3=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为a<0,所以f(x)在R上单调递减,故选C.2.(2025天津十二区二模,3)下列函数是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增的为

()A.f(x)=ex+e-x

B.f(x)=ex-e-xC.f(x)=

D.f(x)=x+

B解析对于A,函数f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),所以函数f(x)为偶函数,不符合题意;对于C,函数f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1},故函数f(x)为非奇非偶函数,不符合题意;对于D,f'(x)=1-

,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意;对于B,函数f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,又f'(x)=ex+e-x>0,所

以函数f(x)在R上单调递增,符合题意,故选B.3.题型二(2025河西二模,6)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)=

（）A.-3

B.4

C.5

D.6

D

解析根据题意,设g(x)=f(2x)+2x,由于g(x)为偶函数,则g(-1)=g(1),即f(-2)-2=f(2)+2,又f(2)=2,所以f(-2)-2=2+2=4,故f(-2)=6,

故选D.4.题型一(2025南开一模,7)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则

实数a的取值范围为

（）A.

B.(0,1)C.

D.(1,+∞)

A

解析由a>0,可知函数y=ax-1是增函数,又f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴

(根据复合函数“同增异减”的原则),解得

<a<1,∴a的取值范围为

,故选A.5.题型二(2025南开期末,5)若函数f(x)=

为奇函数,则a=

（）A.-

B.

C.

D.

B

解析因为f(x)=

=

,所以f(-x)=

,则f(-x)+f(x)=

+

=0,故2x2-(1-2a)x-a=2x2+(1-2a)x-a⇒2(1-2a)x=0,得a=

,当a=

时,f(x)=

=

,定义域为

,关于原点对称,且f(-x)=

=-f(x),满足题意,故a=

,故选B.小题巧解因为函数f(x)是奇函数,还是分式的形式,则分母不能为0,且函数的定义

域要关于原点对称,注意到分母是因式分解的形式,由2x+1≠0得到x≠-

,可知x≠

,因此a=

.6.题型二(2025和平一模,3)已知函数f(x)=(x+a)·

是偶函数,则实数a=

（）A.-2

B.0

C.2

D.4

B

解析因为函数f(x)=(x+a)·

是偶函数,所以f(-x)=f(x),可得(-x+a)·

=(x+a)·

,整理可得-x+a=-x-a,则a=0,故选B.7.题型一、二(2025天津宝坻一中一模,4)下列函数中,是奇函数且在定义域内是增函数

的是

（）A.y=x-2

B.y=x+

C.y=x-sinx

D.y=ln

C

解析对于A,设函数f(x)=x-2=

,函数的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=

=

=f(x),可得函数f(x)为偶函数,故A不符合题意;对于B,设函数f(x)=x+

,函数的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=-x+

=-

=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,由对勾函数的性质可得函数f(x)在(-∞,-1)和(1+∞)上单调递增,在(-1,0)

和(0,1)上单调递减,故B不符合题意;对于C,设函数f(x)=x-sinx,函数的定义域为R,且f(-x)=(-x)-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以函

数f(x)为奇函数,且f'(x)=1-cosx≥0,可得函数f(x)在R上单调递增,故C符合题意;对于D,由

>0,可得x>1或x<-1,即函数定义域为{x|x>1或x<-1},设f(x)=ln

,则f(-x)=ln

=ln

=ln

=-ln

=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,f(x)=ln

=ln

在(1,+∞),(-∞,-1)上单调递减(复合函数单调性判断方法:同增异减),故D不符合题意,故选C.8.题型二(2025南开一模,5)已知f(x)=

是奇函数,则a=

（）A.-1

B.0

C.1

D.2

C

解析因为f(x)=

是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则

=-

,即

=

,必有2-a=a,解得a=1,故选C.9.题型二(2025河西一模,6)已知函数f(x)=e2x+e-2x+2,则

（）A.f(x+1)为奇函数

B.f

为偶函数C.f(x-1)为奇函数

D.f

为偶函数

B

解析

解法一:因为f(x)=e2x+e-2x+2,所以f(1-x)=e2-2x+e2x=f(x),即f

=f

,所以函数f(x)的图象关于直线x=

对称,将f(x)的图象向左平移

个单位长度,则函数图象关于y轴对称,所以f

为偶函数,故选B.解法二:f(x)=e2x+e-2x+2,x∈R,f(0+1)=1+e2≠0,故A错误;f(0-1)=e-2+e4≠0,故C错误;f

=1+e2=f

=1+e2,验证f

=f

,故B正确;f

=1+e2,f

=e-2+e4,故D错误.10.题型二(2025河西期末,7)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)-3ex是奇

函数,则f(ln2)=

（）A.2

B.

C.3

D.

C

解析因为函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,所以f(-x)+e-x=f(x)+ex①,又因为y=f(x)-3ex是奇函数,所以f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex②,①-②,可得f(x)=2e-x+ex,所以f(ln2)=2e-ln2+eln2=1+2=3,故选C.11.题型一(2023天津十二区二模考前模拟,6)已知函数f(x)=log2x-

,则不等式f(x)>0的解集是

（）A.(-1,2)

B.(0,2)C.(2,+∞)

D.(-∞,-1)∪(-1,2)

C

解析由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为y=log2x与y=-

在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)=log2x-

在(0,+∞)上单调递增,因为f(2)=log22-

=1-1=0,所以f(x)>0,即f(x)>f(2)的解集为(2,+∞),故选C.12.题型一(2024河东二模,4)已知函数f(x)=

-x,若a=log52,b=log0.50.2,c=0.5-0.5,则

（）A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(b)<f(c)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)

C

解析因为log51<log52<log55,所以0<a=log52<1,b=log0.50.2>log0.50.25=2,1<c=0.5-0.5=20.5<2,所以0<a<c<b,由f(x)=

-x,可得f'(x)=-

-1<0(x≠0),所以函数f(x)=

-x在(0,+∞)上单调递减,所以f(b)<f(c)<f(a),故选C.13.题型一(2024天津一中月考,5)已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递

增,设a=f(

),b=f

,c=f

,则a,b,c的大小关系是

（）A.a<b<c

B.b<c<aC.c<a<b

D.b<a<c

B

解析因为函数f(x)是R上的偶函数,所以c=f

=f(-ln2)=f(ln2),因为

=ln

<ln2<lne=1<

,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f

<f(ln2)<f(

),即b<c<a,故选B.14.题型二(2024天津十二区一模,4)已知函数f(x)=|x|-

,若a=f

,b=f

,c=f(

),则a,b,c的大小关系为

（）A.a<b<c

B.c<b<aC.a<c<b

D.b<c<a

C

解析因为f(-x)=f(x)且x∈R,所以函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x-

,因为y=x与y=-

在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为lo

>lo

=2>

=

>20.6=

,所以f

<f(

)<f

,即a<c<b,故选C.15.题型三(2024和平二模,4)已知函数f(x)定义域为R,且函数f(x)与f(x+1)均为偶函数,当x

∈[0,1]时,f(x)是减函数,设a=f

,b=f

,c=f

,则a,b,c的大小关系为

（）A.a>b>c

B.a>c>bC.c>a>b

D.b>a>c

C

解析因为f(x)与f(x+1)均为偶函数,所以f(x)=f(-x),f(x+1)=f(-x+1),所以c=f

=f

=f

,f(x+2)=f(-(x+1)+1)=f(-x)=f(x),故函数f(x)的2,所以b=f

=f

=f

,因为当x∈[0,1]时,f(x)是减函数,且

<

<

,所以f

>f

>f

,即c>a>b,故选C.练综合1.题型一(2025天津南开中学统练(14),8)若定义在R上的增函数y=f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=

0,则不等式f(1+lnx)+f(x)>0的解集为

（）A.R

B.(0,+∞)

C.(1,+∞)

D.(0,1)

C

解析由f(1+x)+f(1-x)=0,可得f(1+x)=-f(1-x),则f(x)=-f(2-x),(令x取x-1)则f(1+lnx)+f(x)>0等价于f(1+lnx)>-f(x)=f(2-x),因为f(x)是R上的增函数,所以1+lnx>2-x,即lnx+x-1>0,令g(x)=lnx+x-1,因为g'(x)=

+1>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,故由g(x)>0,可得x>1,故选C.2.题型二(2024河东一模,9)已知偶函数f(x)=ln

,则下列结论中正确的个数为()①a=1;②f(x)在(0,+∞)上是单调函数;③f(x)的最小值为ln2;④方程f(x)=

有两个不相等的实数根.A.1

B.2

C.3

D.4

C解析因为函数f(x)=ln

是偶函数,所以f(-x)=f(x),即ln

=ln

,所以

=

,即eax(e-2x+1)=e-ax(e2x+1),整理可得e2ax=e2x,所以2a=2,得a=1,①正确;则f(x)=ln

=ln(ex+e-x),设t=ex+e-x,x>0,由于t'=ex-e-x=

>0,所以t=ex+e-x在(0,+∞)上为增函数,又y=lnt在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,②正确(复合函数“同增异

减”原则);t=ex+e-x=ex+

≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则f(x)的最小值为ln2,③正确;f(x)为偶函数且在(0,+∞)上为增函数,其最小值为f(0)=ln2,由于2>

,所以ln2>

,所以f(x)>

,故方程f(x)=

没有实数根,④错误.故选C.归纳总结函数y=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.3.题型三(2023河东一模,9)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)

=x+2,设函数g(x)=e-|x-2|(-2<x<6)(e为自然对数的底数),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点

的横坐标之和为

（）A.5

B.6

C.7

D.8

D

解析因为f(x)满足f(2+x)=f(2-x),所以f(x+4)=f(-x),因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(x)=f(x+4),故f(x)的最小正4.g(x)=e-|x-2|(-2<x<6)的图象关于直线x=2对称.作出f(x)和g(x)=e-|x-2|(-2<x<6)的图象,如图所示,

由图知f(x)与g(x)的图象在区间(-2,6)上有四个交点,设交点横坐标从小到大分别为x1,x2,

x3,x4,则

=2,

=2,所以x1+x2+x3+x4=8,所以f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为8,故选D.解后反思若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=

.若函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,也关于直线x=n对称,则函数y=f(x)的T=2|m-

n|.4.题型一(2025河东二模,15)设函数f(x)=x+lnx,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为_________.

1

解析由g(x1)=f(x2),可得x1+

=x2+lnx2,所以x1+

=

+lnx2,即g(x1)=g(lnx2),又g'(x)=1+ex>0,所以g(x)在R上单调递增,所以x1=lnx2,则|x1-x2|=|lnx2-x2|,令h(x)=lnx-x,x∈(0,+∞),则h'(x)=

-1=

,其中x>0,令h'(x