广东广州市番禺区石楼镇三校2025-2026学年高二下学期期中教学质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东广州市番禺区石楼镇三校2025-2026学年高二下学期期中教学质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,−2,3),b=(x,2,1).若a⋅bA.−7 B.4 C.1 D.−12.下列求导正确的是(

)A.π3′=3π2 B.2x3.用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(

)A.24 B.32

C.52 D.604.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有(

)A.8种 B.12种 C.16种 D.20种5.已知fx=x−sinx，则不等式fA.−∞,0∪1,+∞ B.1,+∞

C.0,1 6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是(

)A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有56种不同的放法

B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法

C.将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右(可以不相邻)的顺序排列的不同的排法有120种

D.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有907.已知f(x)=(2−x)8=aA.a1+a2+⋯+a8=1 B.f(−1)除以58.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，直线y=43xA.53 B.23 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B为一次随机试验中的两个事件．若PA=14，PB∣AA.PA=34 B.PB∣A=10.已知直线l:mx−y+2m+1=0，圆C:x2+y2+2x−3=0A.直线l与圆C相交

B.直线l被圆C截得弦长的最大值与最小值的和为

4+22

C.若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线l有两条

D.若P−5,0,Q−2,0，11.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=xA.f−1=−2e

B.fx在−1,0上单调递减

C.fx的极值点个数为2

D.若方程f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1+2x)4的展开式中x2的系数是

13.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点且直线PF14.若曲线y=x3+(x+1)2在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知曲线y=f(x)=13x3−ax2+bx+1在点(1)求函数的极值;(2)若存在x∈[−1,2]，使得不等式f(x)−m≤0成立，求m的取值范围．16.(本小题15分)各项均不相等的等差数列an的前n项和为Sn，已知S5(1)求数列an(2)令bn=4anan+1+117.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC,PA=2，AB=BC=1,AD=2,M是PD的中点．(1)求证：CM//平面PAB；(2)若AB⊥AD，(i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；(ii)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出BQBD的值；若不存在，请说明理由．18.(本小题17分)某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业ABCDEFG研发投入x(万元)3006009001200200028004000年度专利产出数y(件)357691011(1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．(i)求条件概率PN|M(ii)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；(2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列．19.(本小题17分)已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx(2)讨论函数fx(3)若函数fx有两个零点，求a的取值范围．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.A

6.D

7.B

8.A

9.ABC

10.ABD

11.BC

12.24

13.814.2+ln15.解：(1)由题得：f′(x)=x2−2ax+b，

结合题意可得f′(0)=0f′(3)=0，即1−2a+b=0−6a+b+9=0，解得a=2b=3，

经检验符合题意，故f(x)=13x3−2x2+3x+1，

f′(x)=x2−4x+3．

令f′(x)>0，解得x>3或x<1，

令f′(x)<0，解得1<x<3，

故f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以f(x)的极大值为f(1)=73，极小值为f(3)=1；

(2)由(1)可知f(x)在(−1,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

又因为f(−1)=−133，16.解：(1)各项均不相等的等差数列{an}的公差设为d(d≠0)，

S5=40，且a1，a3，a7成等比数列，可得

5a1+10d=40，a32=a1a7，即(a1+2d)2=a1(17.解：(1)取PA中点N，连接BN,MN，因为M为PD中点，所以MN//AD，且MN=1又BC=1,BC//AD，所以BC//MN,BC=MN，所以四边形BCMN为平行四边形，即CM//BN，又BN⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM//平面PAB；(2)(i)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，以点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系：则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，所以AB=(1,0,0),因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD，又因为平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥AD,AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0)设平面PCD的法向量为n=(a,b,c)，则不妨取a=1，则n=(1,1,1)，则cos所以平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为1−((ii)存在点Q满足题意，易知BD=(−1,2,0)假设存在点Q满足题意，设BQ=λ所以Q(1−λ,2λ,0),AQ设平面PAQ的法向量为m=(x,y,z)，则令x=2λ，则m=(2λ,λ−1,0)所以点D到平面PAQ的距离d=AD⋅m解得λ=−3+23或λ=−3−23(

18.解：(1)(i)结合图表可得：研发投入不超过2000万元的企业共5家，专利产出数超过8件的企业共3家，同时满足两个条件的企业共1家，即P(M)=57，由条件概率公式：P(N|M)=PMNP(ii)由(i)知已知P(M)=57，P(MN)=1则：P(M)P(N)=因此事件M与N不相互独立．(2)由图表可得：专利产出数大于6件的企业共4家，不大于6件的共3家，X服从超几何分布，可能取值为0,1,2,3，总抽取情况数C7P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=因此X的分布列为：X0123P112184

19.解：(1)当a=1时，fx=x2−x−lnx．f′x=2x−1−1x=2x2−x−1x=2x+1x−1x．所以fx在x=1处取得极小值，极小值为f(2)函数fx=axf′因为2x+1>0恒成立，所以若a≤0，ax−1<0恒成立，所以f′x<0恒成立，fx若a>0，当0<x<1a时，f′x<0；当