甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 含答案

/甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（

）A．3 B．5 C．6 D．72．已知，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，若满足且，则（

）A． B． C． D．4．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（

）32

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78

64

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07

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42

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45

77A．328 B．253 C．007 D．8605．已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形7．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（

）A． B． C．2 D．8．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（

）A．30 B．60 C．40或60 D．30或60二、多选题9．已知向量，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为-5C．若，则 D．若，则与的夹角为10．下列式子化简正确的是（

）A． B．C． D．11．记的内角的对边分别为，已知，则（

）A．B．C．的外接圆的周长为D．为钝角三角形三、填空题12．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________．13．已知，则______．14．在中，，，面积的最大值为______．四、解答题15．已知，是平面内两个不共线的向量，，，.(1)若A，C，D三点共线，求实数m的值；(2)若，，是钝角，求实数m的取值范围.16．某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩整理后，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；(2)估计这次竞赛成绩的平均分（各组数据以该组区间的中点值作代表）；(3)若该中学计划奖励竞赛成绩前15%的学生，求获得奖励的学生竞赛成绩的最低分．17．在中，内角所对的边分别为，已知且.(1)求；(2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求.18．若，，且，．(1)求和；(2)求及．19．已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边,且，(1)求；(2)若，的面积为，求的周长；(3)若，求周长的取值范围.《甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷》答案题号12345678910答案DACABCBDBCBCD题号11答案BC1．D【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，因为，不是整数，所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7.2．A【详解】由，可得，因为，所以，所以，则．3．C【详解】设，因为，所以，，因为且，所以且，解得.4．A【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果.【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328.故选：A.5．B【详解】，，，向量在上的投影向量为.6．C【详解】在中，，又可得，从而；利用余弦定理和面积公式可将化为，所以，从而，故是等边三角形.7．B【详解】由题意得，，又，则由平面向量基本定理可知，，得，则.8．D【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值．【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达，则，，，，由正弦定理可得：，即，．或，（1）若，则，为直角三角形，；（2）若，则，为等腰三角形，综上，的值为30或60.故选：D．9．BC【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，数量积的坐标运算，模的坐标表示，以及向量夹角的公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】因为向量，，对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确；对于B中，若，可得，解得，即，则，所以B正确；对于C中，若，可得，则，所以，所以C正确；对于D中，若，可得，则，此时，所以D错误.10．BCD【分析】利用三角恒等变换计算各个选项即可.【详解】，A选项错误；，B选项正确；由，得，所以，C选项正确；，D选项正确.11．BC【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论.【详解】由正弦定理可得：，故A错误；由余弦定理可得：，化简得，解得，故B正确;由正弦定理可得：,所以的外接圆的周长为,故C正确;因为，所以角为最大角，由余弦定理有，所以角为锐角，所以为锐角三角形，故D错误.故选：BC.12．【详解】.13．【分析】根据正切的两角和公式可得，然后利用二倍角公式即得.【详解】因为，所以，所以.故答案为.14．【详解】由余弦定理可得：，，.，当且仅当时等号成立，，即面积的最大值为.15．(1)(2)且【分析】（1）应用三点共线结合基底列式计算求解参数；（2）应用钝角得出向量数量积小于0及不共线计算求解参数.【详解】（1），，若A，C，D三点共线，即，共线，即存在实数t使得成立，即，即，则，所以，（2）是钝角，则且与不共线，又，，，即，即，又与不共线，即，综上，且.16．(1)(2)分(3)分【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合频率和为，列出方程，即可求解；（2）由频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解；（3）由的频率为，的频率为，得到前的学生的成绩位于之间，设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，列出方程，即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得，可得，解得.（2）由（1）知，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：，所以估计这次竞赛成绩的平均分分.（3）由题意知，前的学生对应的频率为，因为的频率为，的频率为，所以前的学生的成绩位于之间，设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，则，所以获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为分.17．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出；（2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案.【详解】（1）因为，由余弦定理得，即，解得，所以，又，所以.（2）将，代入得，因为点是线段BC上靠近点的三等分点，所以，在中，，所以.18．(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解；（2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值.【详解】（1）因为，所以，所以，又，，所以，所以；（2），又，所以.19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求