广东东莞市翰林高级中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 含答案

/2026年数学学科高二年级4月月考试卷一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【正确答案】C【详解】因为，所以2.如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论：①在区间上是增函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数：③是的极大值点；④是的极小值点.其中正确的结论是A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④【正确答案】D【分析】结合导函数的图象，可判断函数的单调性，从而可判断四个结论是否正确.【详解】由题意，和时，；和时，，故函数在和上单调递减，在和上单调递增，是的极小值点，是的极大值点，故②④正确，答案为D.用导数求函数极值的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值.3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲炒饭》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（）A.24 B.36 C.64 D.81【正确答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步，第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法，根据分步乘法计数原理，不同的选法共有，4.若，且，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（）A.15 B.12C.5 D.4【正确答案】A【分析】利用分类加法计数原理，分别考虑时的情况，由此分析出满足的有序自然数对的个数.【详解】解析：当时，，有6个不同的有序自然数对；当时，，有5个不同的有序自然数对；当时，，有4个不同的有序自然数对；根据分类加法计数原理可得，共有个不同的有序自然数对，故选：A.5.已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)【正确答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得．故选：C6.在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）A.100 B.120 C.300 D.600【正确答案】A【分析】利用间接法和缩倍法求解.【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.故选：A.7.若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”．函数的不动点个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【正确答案】D【分析】将不动点问题转化为方程的解的个数，构造函数，分析其零点个数，通过求导研究的单调性和极值，结合极限判断零点存在性.【详解】令，则，易知不是该方程的根，故设，则.由或；由.故在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，所以.又，所以函数仅在上有1个零点，即的不动点个数为1，故选：D8.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】对求导并分析单调性，再结合偶函数的性质建立关于的不等式求解即可.【详解】因为，所以，设，则，所以在上是增函数，所以在上是增函数．由，可知当时，，即在上是增函数．又因为，所以是偶函数，所以，所以实数的取值范围是．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列等式正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【详解】对于A，，显然，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在最小值又存在最大值C.若时，，则正数t的最大值为2D.当时，方程有且只有两个实根【正确答案】CD【分析】求得，得到函数的单调区间和极值，以及时，，当时，，作出的图象，结合图象依次判断选项即可求解.【详解】由函数，可得，令，解得或，当时，；当时，；当时，，所以函数在单调递减，在上单调递增，当，函数取得极小值；当，函数取得极大值，当时，，当时，，又，作出函数的图象，如图所示，结合图象得：对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确；对于B中，函数仅存在最小值，所以B不正确；对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确；对于D中，若方程有且只有两个实根，即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确．11.已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（）A.若，且，则的解集为B.若，且，则不等式的解集为C.若，则函数在上为减函数D.若，则【正确答案】ABD【分析】对于A：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于B：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于CD：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性比较大小.【详解】对于选项A：设，因为，则，可知在上为增函数，且，不等式等价于，即，可得，所以的解集为，故A正确；对于选项B：设，则，因为，则，可知在上为增函数，又因为，则，不等式即为，可得，所以不等式的解集为，故B正确；对于选项CD：因为，则，因为，则，可知在上为增函数，故C错误；可得，即，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的减区间为________．【正确答案】【分析】利用导函数为负，可求单调递减区间.【详解】由已知得，，令，即，解得，则的单调递减区间为，故答案为:.13.某圆形舞台的观众席被分为四个区域，如图所示，现共有区、区、区、区6种不同颜色的观众椅供这四个观众区域选择，要求每个观众区域中只使用一种颜色的观众椅，相邻区域的观众椅颜色不能相同，则该舞台观众席四个区域的观众椅的颜色搭配方案共有______种.【正确答案】630【分析】由题意可知，最少需要两种颜色，最多需要四种颜色，按照所需颜色数进行分类求解即可.【详解】若只使用两种颜色，则区和区的观众椅颜色相同，区和区的观众椅颜色相同，有种方案；若使用3种颜色，则分区和区的观众椅颜色相同与不同两种情况，有种方案；若使用4种颜色，则有种方案.故颜色搭配方案共有种.14.函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______.【正确答案】【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可.【详解】设切点坐标为，因为，所以切线的斜率，所以切线方程是，因为切线过点，所以，即，因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程有两个不同的根，所以，解得或.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用基本初等函数导数公式计算求解；（2）先化简原函数，再利用基本初等函数导数公式计算求解；（3）先化简原函数，再利用基本初等函数导数公式计算求解．【小问1详解】，．【小问2详解】，．【小问3详解】，．16.已知函数在处取得极小值，．（1）求和的值；（2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意；（2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可.【小问1详解】由已知，则，又函数在处取得极小值，则，解得，所以，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即此时满足函数在处取得极小值，所以，；【小问2详解】由（1）得和随的变化情况如下表：3

极大值极小值所以当时，的值域为，当时，的值域为．因为对任意，总存在，使得，所以，解得，即实数的取值范围是．17.某学校组织学科竞赛集训与选拔工作．（1）组委会计划把6个全部分配到6个参赛小组跟踪指导，每个小组分配1个名额，共有多少种不同的分配方法？（2）学科竞赛集训与选拔工作结束后，8名工作人员（包含6名甲、乙、丙、丁、戊、戌）站成一排合影留念，其中甲、乙、丙三人必须相邻，丁、戊、戌三人互不相邻，共有多少种不同的排法？（3）现有6名负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，共有多少种不同的分配方法？【正确答案】（1）（2）（3）540【分析】（1）应用分步乘法原理计算求解；（2）应用分步乘法原理结合排列数应用插空法计算;（3）分组分配再结合排列数计算求解.【小问1详解】由分步乘法计数原理可知，分配方法种数为种．【小问2详解】将甲、乙、丙三人进行捆绑，与除丁、戊、戌三人以外的另外2人进行全排列，然后将丁、戊、戌三人进行插空排列，由分步计数原理得不同的排法种数为种．【小问3详解】将6名分成3组，当这3组的人数为1，1，4时，有种；当这3组的人数为1，2，3时，有；当这3组的人数为2，2，2时，有；故不同的分配方法共有种.18.设函数，.（1）讨论函数零点的个数；（2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）利用导数研究函数的图像与性质，进而数形结合即可求出结果；（2）构造，进而可得可得在上单调递减，从而有在上恒成立，参变分离即可求出结果.【小问1详解】函数，令，得，设，则，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点，②当时，函数有且仅有1个零点，③当时，函数有2个零点，④当时，函数有且只有1个零点.综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数有且仅有1个零点；当时，函数有2个零点.【小问2详解】对任意，恒成立，等价于恒成立，设，则，可得在上单调递减，所以在上恒成立，分离m可得恒成立，所以，所以m的取值范围是.（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．19.已知函数，．（1）若，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若，且满足，证明：．【正确答案】（1）极大值为，无极小值（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及极值；（2）求导，利用导数分析函数单调性；（3）转化不等式，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论．【小问1详解】的定义域为，当时，，