广西河池市罗城仫佬族自治县高级中学2025-2026学年高一下学期4月份阶段性检测数学试题 含答案

/罗城高中2026年春季学期高一年级4月份阶段性检测数学(本试卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题上答题无效.一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.)1.若复数满足，则的虚部为（）A.1 B.i C. D.【正确答案】A【详解】由，得，则的虚部为1.2.如图，是水平放置的的直观图，，则（）A.3 B. C. D.【正确答案】A【分析】由直观图的定义求得原图形中的长，再由勾股定理计算．【详解】在直观图中易知∠A'O'B在原图形中，，，所以．3.已知分别为的三个内角的对边，若，则角（）A.或 B. C. D.【正确答案】D【详解】在中，，由正弦定理得，由，得，所以.4.在中，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.【详解】如下图所示：由题意得.故选：C.5.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】通过圆台的侧面展开图中，两个半圆的半径分别是4和6求出圆台上下底面半径和母线长，依据图形运用勾股定理求解出圆台的高，运用圆台的体积公式即可计算出圆台的体积【详解】由题意及图得，作出圆台的截面图如下图所示，过点作于点，设圆台上底面圆半径为，则，解得，∴，设圆台下底面圆的半径为，则，解得：，∴，，由几何知识得，圆台的母线长为，在Rt中，由勾股定理得：，∴圆台的体积为：，故选：B.6.已知单位向量满足,（）A.2 B. C. D.【正确答案】D【分析】已知等式平方把模转化为数量积求得，然后再由数量积的运算律计算．【详解】因为是单位向量，且a−3b所以(a⃗−3所以.7.在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意可得，求解即可.【详解】在中，，，，又满足条件的有2个，则，即，解得，所以的取值范围是.故选：D.8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【正确答案】C【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C二、多选题(本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（）A.B.复数的虚部为C.若复数z为纯虚数，则D.若为复数，则【正确答案】BC【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据复数的运算可得，进而可得虚部；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算结合模长根式运算求解.【详解】对于选项A：，故A正确；对于选项B：复数的虚部为，故B错误；对于选项C：例如是纯虚数，则，，即，故C错误；对于选项D：设，则，，，可得，所以，故D正确.10.若向量则（）A. B.C.在上的投影向量为(1,0) D.与的夹角为【正确答案】BC【分析】根据平面向量运算的坐标表示计算判断．【详解】对于A，由已知，，a+b=9+3=2对于B，，B正确；对于C，，在上的投影向量为a⋅ba2对于D，cosa,b=a11.已知三个内角、、的对边分别是、、，若，则下列选项正确的是（

）A.B.若点在边上，为角平分线且长度为，则C.若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为D.若是的外心，，则【正确答案】BCD【分析】利用正弦定理、余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，可判断A选项；利用结合三角形的面积公式可判断B选项；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断C选项；根据模长关系可得，再结合基本不等式运算求解D即可.【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，整理可得，由与余弦定理可得，所以，因为，故，A错；对于B选项，因为点在边上，为角平分线且长度为，所以，由，即，因为，所以，故，B对；对于C选项，因为，则，即，所以，即，即，当且仅当，即当时，等号成立，所以，，故面积的最大值为，C对；对于D选项，因为，所以，可知点在优弧上（端点除外），由题意得，则，又因为，且，所以可得，即，又因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以可得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，若，则________．【正确答案】##0.25【分析】由向量垂直的坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】已知，，所以.因为，所以，解得.13.如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于__________．【正确答案】【分析】在圆锥侧面展开图中，求出线段即可.【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图，圆弧长为，而，则，由余弦定理得，所以最短路径等于.故14.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______【正确答案】米【分析】设塔高，利用仰角关系将用表示，再在中应用余弦定理列方程求解正根得到塔高.【详解】设塔高米，由题意平面，因此：在中，点仰角为，，得；在中，点仰角为，​，得；在

中，已知，，由余弦定理得，得，

化简得一元二次方程：，解得

或（舍去），即塔高为30米.本题考查解三角形的实际应用，核心是利用仰角定义结合余弦定理解决高度测量问题，体现了数形结合与方程思想.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）已知，若与平行，求；（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．【正确答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出，，由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可；（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案.【详解】（1）因为，且与平行，所以，解得，所以，所以．（2）已知与的夹角为，所以，因为与垂直，所以所以．16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且（1）求角A；（2）若，的面积为，求的周长.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理边化角以及两角和的正弦公式即可求解；（2）由根据面积公式，结合余弦定理求出，即可求解；【小问1详解】由，得，利用正弦定理，得，又，代入上式，，整理得，，因，两边除以，得，即，又，故；【小问2详解】由面积公式，，，，，结合，由余弦定理：，代入，，则，故周长为17.如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体．（1）求阴影部分形成的几何体的体积；（2）求阴影部分形成的几何体的表面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．分别求出两个半圆锥的体积，即可得出答案；（2）分别求出两个半圆锥的表面积，ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分，求出，，则阴影部分形成的几何体的表面积为，求解即可.【小问1详解】过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．，，，，以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为，以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为，，半圆面以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为，.【小问2详解】以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为，以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为，ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：，.18.如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解；（2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解.【小问1详解】由三点共线，且，可知，在等腰梯形中，由，，可得，又，所以，所以，因为三点共线，所以向量共线，可得，结合，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，又，则，分别过作的垂线，垂足分别为，因为等腰梯形中，，所以，可得，又，得，所以，，可得，又是边上一点（含端点），，则，所以.19.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，且边的中线的长为，求的面积；（3）若是锐角三角形，求的范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解；（2）根据余弦定理