河北秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题 含答案

/数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若为虚数单位，，则（）A. B. C. D.3.已知实数，满足，且，则（）A. B. C. D.4.已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知事件，相互独立，且，，则A. B. C. D.6.设命题，，命题为定义在上的奇函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件7.一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（）.A. B. C. D.8.直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（）A.十种金属增速数据的众数是2.9B.十种金属增速数据的平均数是3.57C.十种金属日均产量数据的极差是D.十种金属日均产量数据的80%分位数是23.2510.已知数列满足，且，则（）A.， B.，C. D.11.棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（）A.点的轨迹长度为B.三棱锥的体积为C.直线与平面所成角的正切值最大是2D.存在点使平面平面三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为15，则________．13.双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____.14.方程的正整数解的个数为_____.在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足的概率为_____.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）在中，角为锐角且，，求面积的最大值.16.学校餐厅每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为.而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复，记某同学第天选择类套餐的概率为.（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择类套餐的人数为，求的概率分布列及数学期望.17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，是的中点.（1）证明：；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若存在正数使，比较的值与1的大小关系；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.19.平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知过椭圆外一点引椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为.现过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，.（i）证明：直线平分；（ii）直线与直线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，直线，的斜率分别为，，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值请说明理由.

数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由得：，，，.2.若为虚数单位，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，，，.3.已知实数，满足，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，因为，所以，所以由，因此选项A错误，选项D正确；若，显然，，此时，若，显然，，此时，所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确.4.已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可．解答过程：解：在上单调递减，在单调递增，则的图像如下：方程只有一个实数解，则的取值范围为．5.已知事件，相互独立，且，，则A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题可知，因为事件，相互独立，所以.6.设命题，，命题为定义在上的奇函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：解答过程：设命题成立，，，令，在时成立，但是对于，不一定成立，所以；设命题成立，即为定义在上的奇函数，则，令得，所以；所以是的必要不充分条件.7.一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：由木球浸入水中的体积等于水上升的体积列方程求解解答过程：设水上升的体积为，，设木球浸入水中的体积为，，由列方程：，解得.8.直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解解答过程：以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，，，，，，，，，即，配方得：，所以在以为圆心以2为半径的圆上，，，,其关于x单调递增，所以取P为圆的最右边的点可取得最大，此时，代入得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（）A.十种金属增速数据的众数是2.9B.十种金属增速数据的平均数是3.57C.十种金属日均产量数据的极差是D.十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25答案：ABD解析：解答过程：十种金属增速数据排序：2.2,2.9,2.9,2.9,3.1,3.8,3.9,4.4,4.7,4.9出现次数：2.9出现3次，其余一次，众数是2.9，A正确；，B正确；十种金属日均产量数据的极差：

，C错误；数据已经按从小到大排序：22.0,22.0,22.4,22.5,22.5,22.7,23.2,23.2,23.3,23.380%分位数为第8个数和第9个数的平均数：，D正确.10.已知数列满足，且，则（）A.， B.，C. D.答案：ABC解析：思路：通过递推公式求出前几项发现其周期为4且满足，据此判断各个选项.解答过程：因为，所以：，，，由此可发现数列是以4为周期的周期数列，即，且有恒成立.对于A，，，故，故选项A正确.对于B，由前面计算可知，则；，则，此时，所以，故选项B正确.对于C，因为数列是以4为周期的周期数列，且一个周期内的和为，又因为，所以，故选项C正确.对于D，因为数列是以4为周期的周期数列，且一个周期内的积为，又因为，所以，故选项D错误.故选：ABC.11.棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（）A.点的轨迹长度为B.三棱锥的体积为C.直线与平面所成角的正切值最大是2D.存在点使平面平面答案：BD解析：思路：对于A，通过证明面面平行，进而可得线面平行，进而确定点P的轨迹；对于B，利用等体积法即可判断；对于C，作出线面角，通过分析可知当最短时，最大；对于D，当点为的中点时，平面平面，用向量法证明即可.解答过程：对于A，分别取的中点、，连接、，分别为的中点，，∵，且，∴四边形为平行四边形，，，，平面，平面，平面，分别为的中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，，平面，∴平面平面，为侧面内一动点且满足平面，∴动点的轨迹为，此时平面，∴恒有平面，，故错误.对于，，点到平面的距离为正方体的棱长，∴，故正确.对于，分别取、的中点M，N，过作平面，连接，显然点H落在MN上，则为直线与平面所成的角，，当最短时，最大，显然当时，最短，由题知是直角边长为1的等腰直角三角形，，故，故错误.对于，当点为的中点时，平面平面，下面证明.建立如图所示的空间直角坐标系，则，为的中点，，，，，，，平面，平面平面，平面平面，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为15，则________．答案：6解析：思路：写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可.解答过程：的二项展开式的通项为,依题意,解得,故答案为.13.双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____.答案：解析：思路：首先根据，从而得到，再设，得到，，最后应用双曲线定义计算即可得到答案.解答过程：如图所示：因为，所以.设，且，则，，再根据双曲线定义得，所以，又因为，且，所以，所以.14.方程的正整数解的个数为_____.在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足的概率为_____.答案：①.②.解析：思路：根据题意利用隔板法求所有个数；分、、和四种情况讨论，求满足的个数，结合古典概型运算求解.解答过程：方程的正整数解的个数即为把30个相同的小球放入3个不同的盒中，且每个盒子不空，利用隔板法可知不同的个数为；因为，则有：若，则个数为1；若，则，其个数为；若，则，其个数为；若，设其个数为，则，解得；综上所述：满足的个数为，所以所求概率为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）在中，角为锐角且，，求面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程；（2）先由求得，由余弦定理求出的关系，再根据均值不等式求的最大值，进而求出面积的最大值.（1）由题意，所以的对称轴为，即.（2）由得，解得或，若，则，与角为锐角矛盾，若，则，取，得，由余弦定理得即，由基本不等式得，，化简得：，等号当且仅当时取得，，即.面积的最大值，等号当且仅当时取得.16.学校餐厅每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为.而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复，记某同学第天选择类套餐的概率为.（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择类套餐的人数为，求的概率分布列及数学期望.答案：（1）（2）.0123解析：思路：（1）先求出的递推公式，再求通项公式（2）先求再求分布列和期望.（1），，，所以是以为首项为公比的等比数列；，.（2），.分布列为0123.17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，是的中点.（1）证明：；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取线段的中点，连接、、，推导出平面，可得出，利用菱形的几何性质和中位线的性质推导出，利用线面垂直的判定定理和性质可证得结论成立；（2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.（1）取线段的中点，连接、、，如下图所示：因为为正三角形，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为菱形，所以，因为、分别为、的中点，所以，故，因为，、平面，故平面，因为平面，故.（2）因为四边形为菱形，所以，又因为，故为等边三角形，又因为为的中点，所以，又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，则，设平面的法向量为，，，则，取，可得，因为，故平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若存在正数使，比较的值与1的大小关系；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：(1)先求切线斜率再求切线方程(2)先证明，再求解(3)对，，分类讨论即可.（1），，，切线斜率，，所以切线方程为.（2），，存在正数使，即存在正零点，，，令，解得，所以在上递增，在上单调递减，，，，由零点存在定理得：在存在零点，再由单调性可知正零点，，，易知单调递增，，即；（3）恒成立，等价于，等价于，，下面对分类讨论：①若，