湖南岳阳市汨罗市第二中学2026届高三下学期3月月考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则的共轭复数（）A. B. C. D.2.幂函数在上是减函数，则的值可能是（）A.2 B.3 C.4 D.53.已知集合，则（）A. B. C. D.4.已知，，向量在向量上的投影向量为，则（）．A.12 B.4 C. D.5.下列函数中是减函数的为（）A. B. C. D.6.已知各项均为正数的等比数列是单调递增数列，，则（）A. B. C.10 D.207.甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（）A. B. C. D.8.若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若是空间任意四点，则有B.已知，则在上的投影向量为C.若，则四点共面D.若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为10.已知双曲线：，则下列选项中正确的是（）A.的焦点坐标为 B.的顶点坐标为C.的离心率为 D.的焦点到渐近线的距离为311.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（）A.B.的周长的最大值为C.当最大时，的面积为D.的取值范围为三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为______.13.若，则______.14.已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为___________.四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求.16.据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关.245681020403050（1）求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程；（2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？（3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？附：参考公式：，参考数据：，17.如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．（1）若，求该几何体的体积；（2）若AE垂直PD于E，证明：；（3）在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．18.已知函数，．（1）求在处的切线方程；（2）当时，，数列满足，且，证明：；（3）当时，恒成立，求a的取值范围．19.已知点与关于直线对称，且点在抛物线:上，设为抛物线的焦点．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点是抛物线上一动点，求的最小值；（3）过点作两条互相垂直的直线，与抛物线的另一交点分别为，，作，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点的坐标及的值，若不存在说明理由．

数学满分150分，考试用时120分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则的共轭复数（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的四则运算求出，再由共轭复数的定义求.解答过程：，则，所以.故选：B.2.幂函数在上是减函数，则的值可能是（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：思路：利用幂函数单调性列式计算得解.解答过程：由幂函数在上是减函数，得，解得，符合要求的选项只有A.故选：A3.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：解一元二次不等式可求得集合，易知，可得结果.解答过程：解不等式可得，易知，所以.故选：D4.已知，，向量在向量上的投影向量为，则（）．A.12 B.4 C. D.答案：C解析：思路：根据数量积的定义，求出，再根据向量模长和数量积的关系，求出向量的模长.解答过程：由数量积的定义可知，则；故选：C.5.下列函数中是减函数的为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用解析式直接确定单调性即可判断得解.解答过程：对于A，函数是增函数，A不是；对于B，函数在定义域上不单调，B不是；对于C，函数是增函数，C不是；对于D，函数是定义域上的减函数，D是.故选：D6.已知各项均为正数的等比数列是单调递增数列，，则（）A. B. C.10 D.20答案：D解析：思路：利用等比数列的性质可求得公比，再利用即可.解答过程：因，即，，解得或（舍），设公比为，则，故故选：D7.甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”.由全概率公式得，由题意可知，，当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为，当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为，代入全概率公式计算可得.故取出的两球都是白球的概率为.8.若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围.解答过程：依题意，由，消去得，,，解得，设，则，则点，由直线的斜率小于，得，由，，得，椭圆焦点在轴上，所以椭圆离心率，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C.二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若是空间任意四点，则有B.已知，则在上的投影向量为C.若，则四点共面D.若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为答案：AD解析：思路：由向量加法法则判断A；由投影向量的定义求在上的投影向量判断B；根据向量共面的推论判断C；设在基底下的坐标为，应用向量的坐标表示及已知求对应坐标判断D.解答过程：A：，对；B：在上的投影向量为，错；C：由，而，故四点不共面，错；D：设在基底下的坐标为，则，而在单位正交基底下的坐标为，所以，即在基底下的坐标为，D对.故选：AD10.已知双曲线：，则下列选项中正确的是（）A.的焦点坐标为 B.的顶点坐标为C.的离心率为 D.的焦点到渐近线的距离为3答案：BC解析：思路：由题意可得，，，根据焦点在轴上，逐一判断即可.解答过程：由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则，所以，，，所以的焦点坐标为、，故A项错误；顶点坐标为、，故B项正确；离心率，所以C项正确；渐近线方程为与，焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.故选：BC.11.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（）A.B.的周长的最大值为C.当最大时，的面积为D.的取值范围为答案：BCD解析：思路：利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项.解答过程：对于A选项，因为，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，因为，故，A错；对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，故的周长为，即的周长的最大值为，B对；对于C选项，由正弦定理可得，则，当且仅当时，取最大值，此时，，，C对；对于D选项，由正弦定理可得，则，，所以，，因为，则，可得，则，D对.故选：BCD.方法提示：方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为______.答案：解析：思路：把直观图还原为平面图形，根据斜二测法求出相应的线段长，即可求出原平面四边形的周长.解答过程：把直观图还原为平面图形，如图所示，依题意，，所以，，则，所以原平面四边形的周长为.故13.若，则______.答案：解析：思路：根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求.解答过程：令，则，令，则，所以.故14.已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为___________.答案：解析：思路：画出函数的图像，结合图像得到，，，计算得到，将和代入得到，利用此函数的单调性即可得到所求的最小值.解答过程：，对称轴为，的图像为：有四个不同的解，且，，，，，，，，，，是单调递减函数，是单调递减函数，在范围内是单调递减函数，当时，取最小值，且最小值为.故答案为.四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据累加法求解即可；（2）根据通项公式，结合等差数列的求和公式求解即可.（1）由，则，，…，又，累加可得.（2）由（1），则，故16.据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关.245681020403050（1）求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程；（2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？（3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？附：参考公式：，参考数据：，答案：（1）（2）万元（3）万元解析：思路：（1）利用表中数据求出，的值，再利用公式即可求出结果；（2）利用（1）中所求回归方程即可求出结果.（3）利用的意义求解即可.（1）因为，，，所以，，故回归方程为（2）由（1）知，所以当时，代入得到，即估计销售收入的值为万元.（3）由回归方程为可知，斜率，表示该厂的广告费用每增加投入1万元，销售额估计能平均增加万元，所以该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加万元.17.如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．（1）若，求该几何体的体积；（2）若AE垂直PD于E，证明：；（3）在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）证明见解析（3）存在．解析：思路：建立空间直角坐标系，（1）求出，利用可得，再求体积即可；（2）求出坐标，可得答案；（3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案．（1）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，此时；（2），，；（3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为，设，由，得，存在．18.已知函数，．（1）求在处的切线方程；（2）当时，，数列满足，且，证明：；（3）当时，恒成立，求a的取值范围．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解；（2）先利用导数证得，再构造函数，利用导数证得，进而证得，从而得证；（3）构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数，结合分类讨论即可得解.（1）∵，∴，所以，，∴在处的切线方程为.（2）当时，，所以，则，令，得；令，得；∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，要证，即证，又，，即证，令，则，∴在上为减函数，且，因为，又，∴，∴，则，∴，即，∴成立，原式得证．（3）∵恒成立，，令，则，所以当时，等价于恒成立．由于，，（i）当时，，函数在上单调递增，所以，在区间上恒成立，符合题意；（ii）当时，在上单调递增，．①当，即时，，函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；②当，即时，，，若，即时，在上恒小于0，则在上单调递减，，不符合题意；若，即时，存在，使得，所以当时，，则在上单调递减，则，不符合题意．综上所述，的取值范围是.方法提示：方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；