江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 含答案

/2025～2026学年第二学期期中考试高一数学试题用时：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点坐标是，则（）A. B.5 C. D.8【正确答案】C【分析】先应用复数的几何意义得出复数，再应用复数加法及模长公式计算求解.【详解】复数对应的点坐标是，则，则z+则z+2.化简，得（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可.【详解】由，，∴.故选：A3.设为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可.【详解】因为为非零向量，若，则，所以，，则，反之若，所以，所以，由于为非零向量，故，所以，“”是“”的充要条件.故选：C.4.已知向量，，，若，，三点共线，则实数（）A.3 B. C.2或3 D.或【正确答案】A【详解】由,，可得BA=OA−OB=k若，，三点共线，则k−4k−2+1=0，即解得.5.已知，则tanα−A.2 B. C. D.【正确答案】C【详解】1+sin所以，化简可得：，tanα6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】应用辅助角公式化简得，设，则，进而化简可得，根据二倍角公式即可求解.【详解】，设，则，所以，，因为，所以.故选：A7.在中，，是边的中点，是边上靠近的三等分点，与交于点，若，则角等于（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先由基底表示，再代入可得3AC=AB，由正弦定理求出，最后由三角形的内角和求角.【详解】取的中点，连接，因为是边的中点，所以，又因为，所以，因为△HMD≅△EMA所以AM=12所以6由可得：，即3AC=AB设角的对边分别为，即，由正弦定理可得：，化简可得：，因为，所以或（舍去），又因为，所以.8.在中，，则的最小值是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式可得，再由正弦定理角化边可得关系，最后利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.【详解】由可得：31−2所以，再由正弦定理可得：，则，（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设、是方程的两个复数根，则（）A. B. C. D.【正确答案】AB【分析】根据复数范围内的根可得，，结合复数的四则运算以及模长公式求解判断即可.【详解】由题意得，，不妨设，，对于A：，所以，A正确.对于B：z12=对于C：z1对于D：1=−110.在表达式有意义的条件下，下列等式成立的是（）A.cosB.C.D.【正确答案】ACD【分析】根据两角和与差的正弦、余弦、正切公式，结合二倍角公式及三角函数的平方和关系化简求解即可.【详解】对于A：cos=，A正确.对于B：sin=，B错误.对于C：tan=tan对于D：因为tan3所以tan3A1−所以，D正确.11.的角，，所对边分别为，，，若，，则（）A. B.面积的最大值为C.外接圆半径为2 D.的最大值为【正确答案】BCD【分析】由同角三角函数的商数关系和正弦定理化简可求得可判断A；由三角形的面积公式和基本不等式可判断B；由正弦定理求出外接圆半径可判断C；由数量积的定义和正弦定理化简，再由正弦函数的性质求最大值可判断D.【详解】对于A，由可得：a−2a−2csin则asin即asinC=2因为，所以，所以，因为，所以，故A错误；对于B，由余弦定理可得：cosB当且仅当时取等，所以，面积为，当且仅当时取等，所以面积的最大值为，故B正确；对于C：设外接圆半径为，bsinB=2则，外接圆半径为2，故C正确；对于D，由正弦定理可得：，CA=88=43sin2C+π3取得最大值，为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.【正确答案】【详解】因为a=23所以a⋅b=2则在上的投影向量的坐标为a→⋅b13.已知，若，则的最小值为__________.【正确答案】【详解】设，，，因为z+3−4所以a+3所以复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以表示到原点的距离，则最小值为−3214.在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______.【正确答案】【分析】在和中由余弦定理表示出，可得，再求出凸四边形ABCD面积，由此求出的面积的最大值，进而求出的最大值.【详解】连接，在和中，，，所以，设凸四边形ABCD面积为，所以，所以S=100−96cos所以当时，有最大值，即有最大值，所以S的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，与的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将平方求模长；（2）根据垂直关系的向量表示求解.【小问1详解】因为，所以，，，.【小问2详解】由得，解得.16.已知，，.求：（1）的值：（2）的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函数基本关系结合角的象限，求出、，再代入两角差的正弦公式计算的值，再由倍角公式求出.（2）由两角和的余弦公式求cosβ+2α【小问1详解】因为，所以，因为，所以，则sinα同理，所以sinβ=所以sin=5所以cosα所以.【小问2详解】cos，因为，所以，所以.17.在中，已知，.（1）求角；（2）求边上的中线的最大值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理角化边可得，再由余弦定理直接求解即可；（2），两边平方化简，由余弦定理得，代入上式化简再结合基本不等式可求得结果.【小问1详解】由正弦定理可得：，则，由余弦定理可得：，因为，所以.【小问2详解】因为，，在中，由余弦定理得，即(b+c当且仅当时，等号成立，

又因为，则b+c故有4A从而AD≤32，故的最大值为18.在中，，，，点，分别是边和上的动点.（1）求的面积；（2）若点，分别是边和的中点，求；（3）是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.【正确答案】（1）（2）（3）存在满足，使得为定值.【分析】（1）由余弦定理求出，再由面积公式求解即可；（2）分别求出，再由数量积的运算律求解即可；（3）设，再由数量积的定义化简，当时，即可得出答案.【小问1详解】由余弦定理可得：，因为，所以，所以，所以的面积为.【小问2详解】，，【小问3详解】设，则，BF=μ，若存在定点，使为定值，则其值与无关，故的系数为，则，即，解得：，此时，故存在满足，使得为定值.19.已知单位圆的圆心为，点、是单位圆上的两个不同定点.动点在单位圆上，且满足.（1）求；（2）求的取值范围；（3）设直线交直线于点，，，求的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律可得.（2）解法二：建系标点，设，结合三角恒等变换可得=2−2sinα（3）建系，利用坐标运算可得m2【小问1详