江西南昌新民外语学校2026届高三适应性考试（一）数学试题 含答案

/新民学校2026届高三适应性考试（一）数学试卷第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，．若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得.【详解】由，解得，所以.因为，所以，如图：所以．2.数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）A.3 B.5 C.6 D.7【正确答案】D【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，因为，不是整数，所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7.3.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可.【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点，则，所以；当角的终边落在第四象限时，取一点，则，所以，综上所述.4.已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】设，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数性质即可求解.【详解】设，所以，因为，所以，所以，所以当时，取得最大值6.5.设是定义在上的奇函数，，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2【正确答案】A【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值.【详解】由于，所以是以4为周期的周期函数，则.6.一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】作出示意图，确定球心的位置，设外接球的半径为，构造关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果.【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、，易知为等边三角形，所以，，由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上，设外接球的半径为，则，由勾股定理可得，即，解得，故该正六棱锥的外接球的表面积为.7.已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【正确答案】C【详解】由于，故为等比数列，，公比，故，．因为，所以，即，当时，不等式不成立，故有，此时的差恒大于1，只需，即得，，解得．因为，所以n的最大值为12．8.已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可.【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．，根据双曲线定义可得，∴，则,∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误.故选：AC10.已知函数，则（）A.，是增函数B.，是奇函数C.若有三个不同的零点，，，则D.过点且与曲线相切的直线恰有3条，则【正确答案】ACD【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可.【详解】已知，则.选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以.所以，是增函数，故A正确.选项B：，，则，故不是奇函数，故B错误.选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根.其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则.所以，故C正确.选项D：设切点为，，所以切线方程为.又切线过，所以，即.切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点..令，即，解得或.当时，，当时，，所以在、上单调递减，在上单调递增，所以极小值为，极大值为，所以当时，与有3个交点.所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确.11.已知在锐角三角形中，，则（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】对A根据正弦函数的单调性判断可得；对B根据锐角三角形及A选项分析结果可得；对C由锐角三角形及正切函数的单调性判断可得；对D先B选项分析知，进而可得，再由余弦函数的单调性可得.【详解】因为锐角三角形中，，，即，因为均为锐角，所以，且在上单调递增，所以，即，故A错误；对于B，因为，所以，由A选项分析知，所以，得，又因为为锐角，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，因为在上单调递增，所以，因为为锐角，所以，所以，故C正确；对于D，由B选项分析知，所以，因为，所以，在上单调递减，所以，故D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中的系数为，则实数______.【正确答案】【分析】根据二项展开式即可求解.【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数为，所以，即，解得.13.如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________．【正确答案】1【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算即可得.【详解】由题意得，，，，，则，，，因为，所以.14.数列中，，，记数列的前n项和为，则______．【正确答案】【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算.【详解】，.，又，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若是上的点，平分，，求面积的最小值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角；（2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到边、的关系，最后利用基本不等式求出三角形面积的最小值.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得因为，所以，故，所以，因为，所以【小问2详解】因为平分，所以，所以，，，因为，所以，即，由，得，解得，当且仅当时，等号成立，故，即面积的最小值为16.如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且．（1）求点到平面的距离；（2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解.【小问1详解】方法－：因为为直径，所以，由，得，，所以，所以，在中，，，所以，设点到平面的距离为，由，得.方法二：取弧的中点，连接，则，以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，令，得，则点到平面的距离为.【小问2详解】方法一：取中点，连接、，则，又平面，则，，故面，故，所以二面角的平面角为，即，在等边中，，为等腰直角三角形得，在中，，故所求线面角，.方法二：设，设平面的法向量，，令，得，底面的法向量，则，得，即，，设直线与底面所成角为，则.17.已知递增数列满足，.（1）证明：为等差数列，并求.（2）记，数列的前项和为，求.【正确答案】（1）.（2）.【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程,再结合数列递增确定公差,从而求出通项公式.（2）由（1）得出通项后,写出所求数列的通项,再将其裂项,利用裂项相消求和.【小问1详解】由题意,有.移项整理,得.所以.因为数列为递增数列,所以.故.所以数列是首项为,公差为的等差数列,从而.【小问2详解】由(1)知,所以.于是.又因为,所以.故.从而..18.某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．（1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；（2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列.【正确答案】（1）“联网搜索”模式的测评得分最高，理由见解析（2）0230.1080.6480.244【分析】（1）根据题中统计表，结合均值的定义进行求解即可；（2）根据独立事件的概率公式进行求解即可.【小问1详解】设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，，因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．【小问2详解】三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3，,，所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：0230.1080.6480.24419.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）当或时，1个零点；当或时，2个零点（3）【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程；（2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果；（3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解.【小问1详解】当时，则，可得，，所以曲线在处的切线方程为，即.【小问2详