山东肥城市慈明学校2025-2026学年高三下学期三月月考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则在复平面内的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）A.120种 B.360种 C.240种 D.720种4.若角的终边过点，则（）A. B. C. D.5.函数过定点A，若，则的最小值为（）．A.4 B.6 C.8 D.106.在中，，则（）A.3 B.5 C.4 D.7.我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（）A.8088 B.4044 C.2022 D.10118.某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则球心到托盘底面的距离为（）A. B. C. D.二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量X服从正态分布，且，则B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18C.若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱D.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为10.已知抛物线C：的准线l与圆M：相切，P为抛物线C上的动点，N是圆M上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，抛物线C的焦点为F，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.存在两个P点，使得C.存在点P，当为正三角形时，圆M与直线PQ相交D.过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为D，E，若，则的面积为11.已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（）A. B.C. D.三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在长方形中，分别为边的中点，则________．13.已知数列满足，且，则__________.14.已知双曲线与椭圆有两个公共点，若直线和与C，E从左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列，则____________．四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知数列满足，.（1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式；（2）设，为的前项和.（i）求；（ii）若，恒成立，求实数的最大值.16.如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的正弦值.17.用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表：

语文不优秀语文优秀合计数学不优秀75280数学优秀40合计

400（1）完善上面列联表，并依据的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联?（2）现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人组成一个小组，再从该小组中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望．附：．0.0100.0500.0013.8416.63510.82818.已知椭圆的右顶点为，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过定点且斜率不为零的直线与交于两点，关于轴对称的点为.（i）求面积的最大值；（ii）记直线与的斜率分别为，证明：为定值.19.已知函数，．（1）求在处的切线方程；（2）若在定义域内恒成立，求a的值；（3）求证：，．数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据一元二次不等式解出集合N，结合交集的概念与运算即可求解.解答过程：由，得，解得，所以，所以.故选：D2.已知，则在复平面内的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：应用复数的乘法求，确定对应点坐标，即可得.解答过程：由题设，对应点坐标为，位于第三象限.故选：C3.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）A.120种 B.360种 C.240种 D.720种答案：C解析：思路：由捆绑法结合排列数计算即可求解.解答过程：先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有，2位老师自身有，所以2位老师相邻，不同的排法共有，故选：C4.若角的终边过点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据任意角三角函数值的定义可得，利用倍角公式结合齐次化问题分析求解.解答过程：由题意可知：，所以.故选：B.5.函数过定点A，若，则的最小值为（）．A.4 B.6 C.8 D.10答案：C解析：思路：根据给定条件，求出点的坐标，进而求出的关系式，再借助＂1＂的妙用计算作答．解答过程：当，即时，恒有，即过定点，因为，所以点在上，则，且，于是得，当且仅当，即时取＂＂，由且得：，所以当时，取得最小值8．故选：C6.在中，，则（）A.3 B.5 C.4 D.答案：D解析：思路：应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长.解答过程：由，且，所以，可得.故选：D7.我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（）A.8088 B.4044 C.2022 D.1011答案：B解析：思路：根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可.解答过程：若函数图象的对称中心为，则为奇函数，即为奇函数，必有且，解得，所以的图象的对称中心为，即有，，，，，所以，，.故选：B.方法提示：关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数，得出图象的对称中心，然后函数值配对求和．8.某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则球心到托盘底面的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用球的表面积公式可求得；根据垂直关系可知，由正弦定理可求得外接圆半径，利用勾股定理可求得球心到平面的距离，由此可得球心到底面的距离.解答过程：设球的半径为，则，解得：；取中点，连接，面，面，面都与面垂直，都与面垂直，，的边长为，则其外接圆半径；球心到平面的距离，又，球心到托盘底面的距离为.故选：B.二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量X服从正态分布，且，则B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18C.若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱D.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为答案：AD解析：思路：选项A：利用正态分布的对称性求解即可，选项B：结合下四分位数的概念求解即可，选项C：利用线性相关的系数与线性相关性强弱的联系进行求解即可，（4）对二项式中的赋值为1，再利用展开式的通项求解系数即可.解答过程：选项A：因为，所以，故A正确；选项B：由题意，所以该10个数据的下四分位数为第3个数11，故错误；选项C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误；选项D：∵展开式的二项式系数之和为，∴，故，通项为，则含项的系数为.故D正确.故选：AD.10.已知抛物线C：的准线l与圆M：相切，P为抛物线C上的动点，N是圆M上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，抛物线C的焦点为F，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.存在两个P点，使得C.存在点P，当为正三角形时，圆M与直线PQ相交D.过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为D，E，若，则的面积为答案：BCD解析：思路：准线与圆相切，可知.对A，转化为，根据将军饮马理论可判断选项；对B，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对C，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断；对D：利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解三角形的面积．解答过程：圆的圆心为，半径，若抛物线的准线与圆相切，则，可得，所以，.对于选项A：根据可得，可确定最小值为，故A错误；对于选项B：若，则，做中垂线，根据题意知，设为中点，则可得，直线斜率为，根据点斜式可确定为，与抛物线联立得，，所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故B正确；对于选项C：根据为正三角形，所以，则，且，所以可得，和圆与轴交点为，，所以可知圆M与直线PQ相交，故C正确；对于选项D：如图所示，过点作，交直线于点，设，由抛物线的定义知：，，则，，，可知：，所以直线的斜率为，设直线的方程为，点，，由，消去整理得，则，可得，则，所以三角形的面积为，故D正确.故选：BCD.方法提示：关键点点睛：根据题意合理利用抛物线的定义：抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等.11.已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.解答过程：由，可知或，又，因同正，两边同除以可得，令，则，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当且，此时与题意不符合；当且时，，故．令，则，当时，，在上单调递减，又，所以，所以，所以，故A正确；令，则，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因为，所以当时，，即，即，故B错误；令，则，记，则，所以，则，所以在上单调递增，所以，即，即，所以，即，故C正确；令，，则，令，，则，即在上单调递增，所以，，在上单调递增，所以，即，故D正确．故选：ACD．三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在长方形中，分别为边的中点，则________．答案：2解析：思路：以A为原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解.解答过程：以A为原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则有，，故，，故.故2.13.已知数列满足，且，则__________.答案：1解析：思路：利用两式相减就可得到数列的周期性，可得周期为3的数列，即可求出结果.解答过程：由可得：，两式相减得：，由此可得：，故1.14.已知双曲线与椭圆有两个公共点，若直线和与C，E从左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列，则____________．答案：解析：思路：利用双曲线与椭圆有两个公共点得，直线与曲线C，E联立得交点横坐标，直线与曲线C，E联立得交点横坐标，再利用左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列，列式求解即可.解答过程：解：如图，设直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点；直线曲线交于，两点，与曲线交于，两点已知双曲线与椭圆有两个公共点，则两曲线的顶点重合，则，则椭圆则所以，且故有则所以，且故有同理可得：，且若直线和与C，E从左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列则由图得：成等差数列，成等差数列所以则，解得：，故得：所以：故答案为.四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知数列满足，.（1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式；（2）设，为的前项和.（i）求；（ii）若，恒成立，求实数的最大值.答案：（1）证明见解析，（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）将两边同时除以，令，利用数学归纳法证明，从而可得结果；（2）（i）由错位相减法计算可得结果；（ii）化简可得，令，计算可得，分析为奇数和为偶数时的单调性可知当时，有最小值，求出从而得到的最大值.（1）由题意知，令，则，由，可得，所以对任意，，即，所以数列是常数列，所以.（2）（i），则，，所以，所以.（ii）由题意知，即.令，则，当为奇数时，，所以单调递减，当为偶数时，，所以单调递增.所以当时，有最小值，且，所以的最大值为.16.如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先取线段的中点，线段靠近点的四等分点，再证明四边形为平行四边形，进而得出，进而由线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用二面角余弦公式计算，最后再由同角三角函数关系计算求解.（1）取线段的中点，线段靠近点的四等分点，连接，如图，是的中点，，且，即，又，且，，且四边形为平行四边形，，平面平面，平面.（2）已知平面，，则，两两垂直，以C为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则，又是的中点，，则，.设平面的一个法向量为，则，令，得.取平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，，即平面与平面的夹角的正弦值为.17.用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表：

语文不优秀语文优秀合计数学不优秀75280数学优秀40合计

400（1）完善上面列联表，并依据的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联?（2）现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人组成一个小组，再从该小组中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望．附：．0.0100.0500.0013.8416.63510.828答案：（1）表格见解析；数学成绩与语文成绩有关联．（2）分布列见解析；解析：思路：（1）通过列联表中得数据计算出值，然后对照表格数据作答；（2）得出分层抽样比，求出应抽出的优秀和不优秀的人数，再利用古典概型求解分布列与数学期望.，（1）零假设为数学成绩与语文成绩无关联．根据列联表中的数据，

语文不优秀语文优秀合计数学不优秀20575280数学优秀4080120合计245155400根据的独立性检验，我们推断不成立，即数学成绩与语文成绩有关联．（2）从数学成绩优秀的样本中（人）按照分层抽样选取人，因此可得语文不优秀的人数为，语文优秀的人数为，因此从人中抽取人参加数学竞赛，设这人中语文成绩优秀的人数为,则，且满足超几何分布，则,,,,则的分布列为：所以数学期望18.已知椭圆的右顶点为，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过定点且斜率不为零的直线与交于两点，关于轴对称的点为.（i）求面积的最大值；（ii）记