山东省济南市2026届高三下学期针对性训练（三模）数学试题 含答案

/山东济南市2026届高三5月针对性训练数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A．1 B．i C． D．2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.73．已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．已知，，则（

）A． B． C． D．25．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（

）A． B． C．2 D．46．已知，则（

）A． B． C．0 D．87．已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（

）A．6 B．12 C．18 D．24二、多选题9．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（

）A．B．为奇函数C．在上单调递减D．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到10．若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（

）A．直线与是异面直线 B．C．若，则 D．若为的中点，则11．若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（

）A．B．若，则的最大值为C．若，则的最小值为D．若，则三、填空题12．已知向量，，则的值为________．13．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________．14．已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________．四、解答题15．国内某摩托车企2025年3月—9月新车月销售量y（单位：百台）的数据如下表：月份3月4月5月6月7月8月9月月份代号x1234567月销售量y11161821242829计算得．(1)求y关于x的线性回归方程；(2)现从这7个月的月销售量数据中随机抽取3个，记抽取的数据中不低于20（单位：百台）的数据个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．16．如图，在三棱台中，平面，，且，．(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．17．已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前2n项和．18．已知函数．(1)设函数，求的最小值；(2)对任意，都有，求k的取值范围；(3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围．19．已知，，…，是平面直角坐标系xOy内的点，且和在抛物线上．记的坐标为，对于任意，都有，且直线与C相切．(1)当时，证明：；(2)已知函数．（ⅰ）若，，证明：；（ⅱ）证明：．参考公式：．答案1．A【详解】由题意得，可知虚部为.2．B【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以，由正态分布的对称性得，故B正确.3．C【详解】或，，所以，所以A错误；或，，所以，所以，所以B错误，C正确；由，且集合中包含小于0的元素，而集合中没有小于0的元素可知D错误.4．D【详解】已知，，则，，所以，则.5．C【详解】由得，由已知得，解得（舍去）.6．A【详解】可知，则含的项为，即.7．D【详解】因为在内单调递增，则，可知函数在内的值域为；又因为在内单调递增，则，可知函数在内的值域为；由题意可知：，即，令，，则，因为，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，又因为，且，则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为.8．B【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以，由知，所以，所以，所以直线的方程为，，所以直线的方程为，因为为与的交点，所以，解得，代入计算得，所以，因为，，，由得，化简得，所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以，因为，所以面积的最大值为.

9．ABD【详解】对于A：因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，即，所以，，A正确；对于B：由选项A分析可知，所以，令，则定义域为，且，所以是奇函数，所以为奇函数，B正确；对于C：由，得，令，因为在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，C错误；对于D：函数的图象向左平移个单位长度，得到，D正确.10．AD【详解】如下图所示：对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线，即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对；对于B选项，由题意可知，，，所以，B错；对于C选项，，所以，故，C错；对于D选项，由题意可知，，又因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，所以，同理可证，故，D对.11．BCD【详解】对A，就是3个1和3个，要满足，第一个是1，最后一个一定是，因此数列有：；；；；共5个，A错对B，若，即有个1和个，要使得取最大值，系数大的尽可能取1，当数列取，可以证明为最大值，B正确；对C，若，即有个1和个，要使得取最小值，系数大的尽可能取，数列取，，可证它是最小值，C正确；对D，对数列，由于，所以，所以，所以数列中，可以是1也可以是，若，则是数列，若，则是数列，所以，D正确.12．5【详解】因为，所以.13．/【详解】因为是周期为2的偶函数，所以，因为当时，，所以.14．【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知，由椭圆的对称性可知，，，因为，所以，所以，设，则，所以，则，即，解得，所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为，则，所以，即，由得，所以的离心率15．(1)(2)分布列见解析；【详解】（1），，，根据参考数据可得，，所以，故y关于x的线性回归方程为；（2）数据中不低于20（百台）的月份：6月、7月、8月、9月，共4个；低于20（百台）的有3个，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，；；；；故X的分布列为：X0123P数学期望为.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，则，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，因为，所以，故平面平面.（2）当时，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，又因为，所以，因此直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，所以，所以，当时，，解得，当时，由得，所以，即，所以，所以数列为常数列，所以，即，当时，，所以；（2）由（1）得，所以，令①，所以②，由①②有：，所以，所以.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由题意可知：，，则，可知在内单调递增，且，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，所以在内的最小值为.（2）若，，可得，原题意等价于在内恒成立，令，，则，令，，则，由（1）可知：在内单调递增，则，可得，可知在内单调递增，则，可得，可知在内单调递增，则，可得，所以实数k的取值范围为.（3）令，，则，原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点，则在内的值域为，且为单调函数，且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；可知在内单调递增，则在内恒成立，可得，即在内恒成立，因为，由（1）可知：当时，，即；当时，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，则，可得，即，所以实数m的取值范围为.19．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）如图：因为，所以.当时，因为，在抛物线上，过点的抛物线的切线方程为；过点的抛物线的切线方程为.所以，所以，因为，所以，即.（2）（ⅰ）当时，由（1）可知，，所以,,.所以，.所以.令（），则，则，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增.因为，所以，故，即.（