山西晋城市2025-2026学年高考适应性模拟数学试题 含答案

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.4.某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（）A. B. C. D.5.当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（）A. B. C. D.6.若，则()A. B. C. D.7.已知函数的极大值点为，且，则（）A. B. C. D.8.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（）A. B.点是的一个顶点C.的方程为 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，则（）A. B.C. D.10.在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（）A.B.点到平面的距离为C.直线与平面所成角的正弦值为D.动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是11.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则周长的最小值为11C.若A，F，B三点共线，且，则D.若直线AB过，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为__________．13.已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________．14.当时，，则实数的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生

女生

合计

附：．16.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）令，求函数在上的零点个数．17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为．（1）求角；（2）若外接圆的半径为2，判断的形状．18.在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点．（1）证明：．（2）若二面角的平面角的余弦值为．①求线段的长；②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．19.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程．（2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则．①证明：直线恒过定点；②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围．

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，，则．2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：因为，所以，则，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限．3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为向量，且，即，所以，解得．故.所以.4.某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可.解答过程：如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，则圆台的体积为，解得，所以母线的长是.5.当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用圆的几何性质来判断最短弦长的位置关系.解答过程：直线过定点，圆的标准方程为，则圆心为，半径为．当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为，所以直线的斜率为，故，解得．6.若，则()A. B. C. D.答案：D解析：思路：先通过平方两个已知等式并相加，利用三角恒等式消去和，得到，结合已知范围确定，即；再将此关系代入原方程之一，化简后无需求出的具体值，直接得到和的值，最后用和角公式计算，得出结果.解答过程：因为，所以①又因为，所以②①+②得所以．又因为，所以，即．把代入中，得.则，即．把代入中，得.则，即．所以．7.已知函数的极大值点为，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，可得出，然后由化简得出，将代入化简可得答案.解答过程：因为，该函数的定义域为，，因为，即，即，即，所以，又因为，所以（*），①当时，，当时，；当时，.所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意；②若，由可得，由可得或，此时函数的增区间为、，减区间为，则函数的极大值点为，即得，则由（*）得，，因为，所以；③当时，由可得，由可得或，所以函数的减区间为、，增区间为，所以函数的极大值点为，同②可得.综上所述，.8.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（）A. B.点是的一个顶点C.的方程为 D.答案：C解析：思路：对于A，根据题设定义可得的渐近线为直线与轴，且直线与轴夹角为，进而得到双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，可得双曲线的一条渐近线倾斜角为，即，进而求解离心率即可；对于B，易得双曲线的实轴方程为，进而求解判断即可；对于D，根据两个顶点坐标求出实轴长，即可判断；对于C，根据的关系求出，即可判断.解答过程：对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴，且直线与轴夹角为，由题意，是双曲线绕原点旋转得到，则双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，即双曲线的一条渐近线倾斜角为，由渐近线方程得，所以双曲线的离心率，故A错误．对于B，双曲线的两条渐近线分别为直线和，且直线与轴夹角为，所以双曲线的实轴方程为，联立，解得或，故双曲线的两个顶点为，故B错误；对于D，双曲线的实轴长为，即，故D错误；对于C，由，得，故双曲线的方程为，故C正确．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择.解答过程：对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确；对B：因为，且，所以，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D错误．故选：AC.10.在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（）A.B.点到平面的距离为C.直线与平面所成角的正弦值为D.动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是答案：ABD解析：思路：ABC选项，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，线面角的夹角正弦公式进行求解；D选项，先证明面面平行，进而得到线面平行，从而得到动点的轨迹，求出区域面积解答过程：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，故，则，，A正确；B选项，，，，设平面的法向量为，则，令得，故，点到平面的距离为，B正确；C选项，由B知，平面的法向量为，设直线与平面所成角的夹角为，则，直线与平面所成角的正弦值为，C错误；D选项，分别取的中点，连接，，则，因为，，所以四边形为平行四边形，故，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，当动点平面时，平面，则动点的轨迹所形成区域为及其内部，为等边三角形，边长为，故面积是，D正确.11.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则周长的最小值为11C.若A，F，B三点共线，且，则D.若直线AB过，且，则答案：BD解析：思路：A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案.解答过程：A选项，抛物线的焦点为，即，解得，故，故点纵坐标为3，中，令得，不妨设，则，，故，A错误；B选项，若，则，过点作⊥准线于点，则，则，故当三点共线时，取得最小值，过点作⊥准线于点，故的最小值为，则周长的最小值为，B正确；C选项，若A，F，B三点共线，显然直线的斜率存在，设直线方程为，联立得，，，故，，点到直线的距离为，故，故，解得，故，，则，C错误；D选项，若直线AB过，显然斜率存在，设为，联立与得，则，解得，，因为，故，解得或，当时，，显然此时重合，不过点，不满足要求，当时，，此时，满足要求，则，，所以，所以，，，故，所以，又，，，故，，则，D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为__________．答案：8解析：思路：先展开化简，分别应用展开式通项计算求出系数.解答过程：的展开式中，含的项为，所以的展开式中的系数为8．13.已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________．答案：72解析：思路：根据题设条件求出公比，再由等比数列通项公式计算求解.解答过程：因为是等比数列，设其公比为，依题意可得，因，两式相除，得，整理得，解得，所以.14.当时，，则实数的最小值为__________．答案：解析：思路：将原不等式转化为，令，换元后，分离参数，转化为，再求的最大值即可.解答过程：，因为，故，也即，对，，故其在单调递增，且当时，；当趋近于时，趋近于；令，则；原不等式等价于，又，故，令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生

女生

合计

附：．答案：（1），人（2）表格如下：

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．解析：（1）由各组频率之和为，得，解得，则属于“优等生”的有人.（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．所以得到列联表如下：

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．根据表中数据，计算得．根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．16.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）令，求函数在上的零点个数．答案：（1）（2）个解析：思路：（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论.（1）当时，，则，所以，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）由题意可得，，令可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，，令，其中，则，令，则，由可得，由可得，所以函数在处取得极大值，也是最大值，所以，所以，即恒成立，所以函数在上单调递减，且，故当时，，所以，则函数在上单调递减，当时，；当时，.所以直线与函数的图象有且只有一个公共点，故函数在上只有一个零点.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为．（1）求角；（2）若外接圆的半径为2，判断的形状．答案：（1）（2）是等边三角形解析：思路：（1）利用已知的余弦定理形式和面积公式，通过两式相除消去，直接求出，进而确定.（2）利用外接圆半径和正弦定理将边长用角度的正弦表示，代入已知的面积和边的关系式，得到关于和的方程组，解出，从而判断三角形为等边三角形.（1）由余弦定理，得①，由三角形的面积公式，得②．②÷①，得，即．由，得．（2）由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理，得，所以．因为的面积为，所以，化简得．③因为，所以，化简得．④因为，所以由③④，得，所以．⑤由③⑤解得，又，所以，故必有，所以，所以是等边三角形.18.在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点．（1）证明：．（2）若二面角的平面角的余弦值为．①求线段的长；②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）①；②解析：思路：（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直的定义得出线线垂直；（2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数；②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解.（1）因为，且是线段AD的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；（