陕西咸阳市育才田家炳中学2025-2026学年高三下学期质量检测（九）数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若，，则（）A. B. C. D.4.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（）A. B. C. D.或5.若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.1 B.15 C.-15 D.-16.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式A.9 B.12 C.14 D.167.已知等比数列与等差数列，满足，，则（）A. B. C. D.8.已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据的第二十五百分位数是1B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好C.已知随机变量，若，则D.依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联10.函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.关于的不等式的解集为11.如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（）A.，，，四点共面 B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，与共线，则_____________.13.设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________.14.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等比数列，，，数列满足：．（1）求，的通项公式；（2）数列求数列的前项和．16.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.17.在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）.18.已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点（1）求（2）求直线的斜率的值；（3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由，，则.2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：由，得，则，所以在复平面内对应的点为，位于第二象限.3.若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，由得，所以．4.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（）A. B. C. D.或答案：A解析：思路：借助双曲线的渐近线方程可得，即可得，即可得离心率.解答过程：由题意可得，故，则，故.故选：A.5.若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.1 B.15 C.-15 D.-1答案：B解析：思路：先求出，再利用二项展开式的通项即可求出其常数项.解答过程：由题意，，解得，则二项式的通项为，由可得，即其展开式的常数项为.故选：B.6.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式A.9 B.12 C.14 D.16答案：D解析：解答过程：情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.7.已知等比数列与等差数列，满足，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解.解答过程：设等比数列的公比为，由，得，则，设等差数列的公差为，由，得，则，所以．8.已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由，可知函数为上的偶函数，．因为在上单调递增，时，，所以在上单调递增，在上单调递减．不等式可化为，所以，解得或．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据的第二十五百分位数是1B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好C.已知随机变量，若，则D.依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联答案：ABC解析：思路：根据百分位数的计算公式即可求解A；根据决定系数的定义即可求解B；根据二项分布的方差和期望的公式即可求解C；根据独立性检验的性质即可求解D.解答过程：对于A：8个数从小到大排列，因为，所以取第2个数与第3个数的平均数，得，故A正确；对于B：由决定系数越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故B正确；对于C：由二项分布的均值与方差公式可得，可解得，故C正确；对于D：由，依据的独立性检验，可以认为两个变量有关联，故D错误.故选：ABC.10.函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.关于的不等式的解集为答案：ABC解析：思路：根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答.解答过程：由图象得，，即，而，则，，又，则，解得，函数的最小正周期，由图象知，则，，，对于A，图象向左平移个单位得到的图象，A正确；对于B，当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，B正确；对于C，，的图象关于直线对称，C正确；对于D，由，得，则，解得，所以解集为，D错误.11.如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（）A.，，，四点共面 B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成角为答案：BC解析：思路：由异面直线的判定判断A；补形为正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D.解答过程：对于A，直线平面，点平面，而直线，点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误；对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确；对于C，点到平面的距离为，则，C正确；对于D，取中点，连接，由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是，而，因此，即，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，与共线，则_____________.答案：解析：思路：先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长.解答过程：，与共线，可得，解得，所以，所以.故答案为.13.设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________.答案：解析：思路：由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值.解答过程：因为，所以，直线的斜率为，由题意可得，解得.故答案为.14.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．答案：13解析：思路：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.解答过程：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等比数列，，，数列满足：．（1）求，的通项公式；（2）数列求数列的前项和．答案：（1），.（2）解析：（1）已知数列是等比数列，，，所以公比，由等比数列通项公式得.由，代入得.综上，通项公式为，通项公式为.（2）由题可知，数列的前项和：.16.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）.解析：思路：（1）取棱的中点，连接，通过构造中位线、平行四边形的方法，先证得，进而证得平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.（1）取棱的中点，连接，因为为的中位线，所以，且，因为四边形为正方形，为的中点，所以，且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.（2）分别取棱的中点，连接，则.因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以.记平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.17.在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）.答案：（1）岁（2）解析：思路：（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）根据条件概率公式即可求出．（1）平均年龄

（岁）．（2）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：，则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．18.已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点（1）求（2）求直线的斜率的值；（3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据焦半径公式直接求解即可；（2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，消去整理后，由，求的值；（3）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线的斜率，化简得的值.（1）解：由题知，在抛物线上，所以，根据焦半径公式，（2）解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，与联立，消去x整理得，令，即，解得（3）解：因为是轴上两个不同的动点，且满足，所以直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，与联立，消去x整理得，所以，得，从而，将换成，同理可得，所以19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．答案：（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）求出导数，分类讨论的取值情况来判断单调性；（2）分离参数，求解新函数的