浙江宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高三下学期四月测评数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z满足(i为虚数单位)，则z的虚部为（）A.i B.1 C. D.2.设全集，集合，则（）A. B. C. D.3.已知条件，，则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要4.在边长为2的正方形中，（）A. B.0 C.2 D.45.一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）A.极差变大 B.平均数变大C.方差变小 D.第25百分位数变小6.在中，角的对边分别是，已知，且，则（）A.9 B.6 C.3 D.187.已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（）A.0 B.2 C.－1 D.－28.“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（）A. B. C. D.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的是（）A.与共轭的双曲线是B.互为共轭的双曲线渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率为，则D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一个圆上10.已知函数的定义域为，，，则（）A. B.C.为偶函数 D.为奇函数11.如图，在正方体中，，点在平面内，，延长交平面于点，则以下结论正确的是（）A.点到的距离的最大值为2B.线段长度的最小值为C.直线与所成的角的正弦值的最小值为D.直线与平面所成的角正切值的最大值为三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.______．13.若等差数列的前项和为，已知，则___________．14.已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为_____.四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值及函数图像的对称中心；（2）设，若使得，求实数b的取值范围．16.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为，①求直线AB的方程．②求的面积．17.如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形，，，，，M，N，K分别为的中点．（1）求证：平面；（2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18.在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为：0123每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.（1）若，求，并根据全概率公式求；（2）是否存在值且，使得，请说明理由.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）证明：（）.

数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z满足(i为虚数单位)，则z的虚部为（）A.i B.1 C. D.答案：B解析：思路：由已知等量关系，应用复数的除法可得，进而确定虚部.解答过程：由题意可得：，所以z的虚部为1.故选：B.2.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据集合描述法的定义求出集合，进而利用补集运算求解即可.解答过程：集合，所以.故选：A3.已知条件，，则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要答案：A解析：思路：解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.解答过程：由可得，解得或，因为或，所以，是的充分不必要条件.故选：A.4.在边长为2的正方形中，（）A. B.0 C.2 D.4答案：B解析：思路：根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解.解答过程：因为正方形的边长为2，所以，所以；故选：B.5.一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）A.极差变大 B.平均数变大C.方差变小 D.第25百分位数变小答案：C解析：思路：根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较厚得到答案.解答过程：由于，故，，……，，，A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，故A错误；B选项，原来的平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，故B错误；C选项，原来的方差为，去掉后的方差为，方差变小，故C正确；D选项，，从小到大排列，选第个数作为第百分位数，即，，故从小到大排列，选择第个和第个数作为第百分位数，即，由于，去掉后第25百分位数变大，故D错误.故选：C6.在中，角的对边分别是，已知，且，则（）A.9 B.6 C.3 D.18答案：A解析：思路：根据正弦定理和余弦定理角化边，结合已知等式求解即可.解答过程：在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，，因为，所以，即，即，又因为，所以，因为，所以.故选：A7.已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（）A.0 B.2 C.－1 D.－2答案：D解析：思路：将问题转化为与的交点问题，再根据数形结合思想可求解.解答过程：函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，令，，即函数的图象与有四个不同的交点，两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：所以，不妨设，则，所以.故选：D8.“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据“提丢斯数列”定义得，再根据等比数列的性质和求和公式解题即可.解答过程：记“提丢斯数列”为,则当时,,所以,当时,,满足该式,当时,,所以，所以“提丢斯数列”的前50项的和为．故选：D.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的是（）A.与共轭的双曲线是B.互为共轭的双曲线渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率为，则D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一个圆上答案：ACD解析：思路：利用共轭双曲线的定义，结合双曲线渐近线、离心率的意义逐项分析判断.解答过程：对于A，由共轭双曲线的定义知，与共轭的双曲线是，A正确；对于B，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B错误；对于C，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，因此，当且仅当时取等号，C正确；对于D，双曲线的焦点为，双曲线的焦点为，上述四个焦点到原点距离都为，因此它们都在圆上，D正确.10.已知函数的定义域为，，，则（）A. B.C.为偶函数 D.为奇函数答案：BC解析：思路：根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得.解答过程：对于A，令，则，解得或，A错误；对于B，令，得，则，令，得，则，因此，B正确；对于C，依题意，，则，对，取，得，又，则，即，为偶函数，C正确；对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误.11.如图，在正方体中，，点在平面内，，延长交平面于点，则以下结论正确的是（）A.点到的距离的最大值为2B.线段长度的最小值为C.直线与所成的角的正弦值的最小值为D.直线与平面所成的角正切值的最大值为答案：AC解析：思路：建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，根据点线距公式可判断A；由的轨迹位置可判断B；根据最小角定理可判断C；根据线面角的向量公式可判断D.解答过程：如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，设，所以点的坐标为，，由可得，．因为，，，，所以点到的距离为，由正方体性质易知，平面，设平面，所以，，所以点的轨迹为平面内以点为圆心，半径为的圆，而易知为边长为的正三角形，其内切圆半径为，所以点的轨迹为的内切圆，设其与三边的切点依次为，如图所示，易求得：，，因此当时，即点在处，的中点时，点到的距离，A正确；当点在处时，此时在处，，B错误；设直线与所成的角为，因为，由最小角定理可知，直线与平面所成的角小于等于，即，所以，当点为过点且与平行的直线与内切圆的交点时取等号，C正确；设直线与平面所成的角为，易知平面的一个法向量为，所以，而由等和线定理可知，，所以，当时，，即，即点为平行于的直线与内切圆相切的切点时取得，故D错误．故选：AC．方法提示：本题的解题关键根据选项选择不同的处理方式，建系表示出点的坐标，根据正方体的性质得出点的轨迹，从而利用点线距，线面角的向量公式判断出AD的真假，再根据特殊位置以及最小角定理判断出BC的真假．三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.______．答案：解析：思路：由，展开，结合诱导公式即可求解.解答过程：，故13.若等差数列的前项和为，已知，则___________．答案：26解析：思路：利用等差数列求和公式，通项公式及其性质变形求解.解答过程：设数列的公差为，，则，故．故2614.已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为_____.答案：①.-1②.8解析：思路：设，求导，得到在点A处切线斜率为，得到最小值；将代入切线方程，整理得到至少有两个根，构造函数，求导得到其单调性和极值情况，得到，求出轨迹长度.解答过程：设，，故在点A处切线斜率为，当时，等号成立，故在点A处切线斜率的最小值为-1，点为轴的一个动点，设为，在处的切线方程为，将代入切线方程得，整理得，曲线上至少有两条不同的切线经过点，故至少有两个根，令，则，令得，令得或，所以在上单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，故时，至少两个根，动点的轨迹的长度为.故-1，8四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值及函数图像的对称中心；（2）设，若使得，求实数b的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用和差角，二倍角以及辅助角公式化简函数解析式，然后由周期求得求的值，然后利用正弦函数的对称中心求得函数图像的对称中心；（2）整理函数解析式，然后令，得到函数的取值范围，然后得到函数在上的最大值；由正弦函数的单调性求出的单调区间，从而求出在区间的最大值.由使得得到函数在上的最大值小于在上的最大值.由此解出实数b的取值范围.（1），，，，，∵周期，∴，∴，令，解得，∴函数图像的对称中心.（2），，令，在上单调递增，∴，∴，令，解得∴函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，∵使得，∴，当时，的图象的对称轴为，函数在时单调递减，所以符合题意，∴.16.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为，①求直线AB的方程．②求的面积．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）根据题意列出a、b、c的关系，求解即可；（2）①根据点差法求出直线AB的斜率，即可得出直线AB的方程；②求出AB的长度，求出O到直线AB的距离，即可得出答案.（1）由题意得，解得，所以椭圆E的方程为，（2）①设，由A，B是椭圆E上两点得，，两式相减得，即，因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，即，所以直线AB的方程为，即；②由得，，则，所以，点O到直线AB的距离，所以．17.如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形，，，，，M，N，K分别为的中点．（1）求证：平面；（2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明见解析（2）存在，．解析：思路：（1）利用线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的计算公式进行求解.（1）因为与均为等边三角形，且M，K分别为中点，所以，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面，同理平面，所以；又平面，平面，所以平面，而平面平面，所以，又平面，所以平面（2）过E作于T，因为，，，，，所以,,,所以是等腰直角三角形，，同理可得，所以，又M，N，K分别为中点，所以所以由（1）知平面，所以，即两两垂直，故以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以四边形为平行四边形，所以，则，，，，，，所以，设平面的法向量为，则，不妨取，设，，则，因为与平面成角，所以，解得，所以存在点P，使得与平面成角，此时．18.在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为：0123每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.（1）若，求，并根据全概率公式求；（2）是否存在值且，使得，请说明理由.答案：（1），（2）不存在，理由见解析解析：思路：（1）利用所给分布列，根据概率