2026年八年级数学上册第13章轴对称练习题自我小测13.4课题学习最短路径问题

2026年八年级数学上册第13章轴对称练习题自我小测13.4课题学习最短路径问题同学们，当我们在几何的世界里探索时，“最短路径”问题常常以其贴近生活的实用性和巧妙的解题思路吸引着我们。它不仅仅是一个数学问题，更是对我们空间想象能力和转化思想的考验。本章我们学习了轴对称的知识，而将轴对称的性质灵活运用于解决最短路径问题，正是这一章的点睛之笔。通过本次自我小测，希望大家能进一步巩固所学，体会数学的严谨与趣味。一、知识回顾与方法梳理在开始练习之前，让我们先简要回顾一下解决最短路径问题的核心知识与常用方法：1.轴对称的性质：这是解决问题的基础。成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。2.“两点之间，线段最短”：这是所有最短路径问题的逻辑起点和最终依据。3.“化折为直”的转化思想：这是解决最短路径问题（尤其是涉及折线的）的关键策略。通过轴对称变换，将不在同一直线上的“折线”路径，巧妙地转化为“直线”路径，从而利用“两点之间，线段最短”来求解。常见的如“牧马饮马”模型、“造桥选址”模型（基础版）等，都是这一思想的具体体现。在具体操作中，我们通常会：*确定需要进行轴对称变换的点（一般是动点所在直线同侧的定点）。*作出该点关于对称轴（通常是动点所在的直线）的对称点。*连接对称点与另一个定点，所得线段与对称轴的交点，即为所求的使得路径最短的动点位置。二、典型例题精析为了更好地理解上述方法，我们先来看一个典型的例子，从中提炼解题思路。例题：如图，牧童在A处放牧，他想先到河边l饮水，然后再回到位于B处的家。请问，牧童在河边的哪个位置饮水，才能使从A到河边再到B的路程最短？请在图中作出该点。思路点拨：这个问题是“饮马问题”的经典模型。A、B两点在直线l的同侧。我们要在l上找一点P，使得PA+PB最短。直接连接A、B，线段AB与l没有交点（因为同侧），所以PA+PB不是最短。如何利用轴对称呢？我们可以尝试将点A“搬到”直线l的另一侧，设为点A'，使得l成为AA'的垂直平分线。这样一来，对于直线l上任意一点P，都有PA=PA'。因此，PA+PB=PA'+PB。要求PA+PB最短，就转化为求PA'+PB最短。而A'和B是直线l两侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，连接A'B，与直线l的交点P，即为所求。作法简述：1.作点A关于直线l的对称点A'。2.连接A'B，交直线l于点P。则点P就是牧童饮水的最佳位置。证明（简要思路）：在直线l上任取异于点P的一点P'，连接AP'、A'P'、P'B。因为A与A'关于l对称，所以PA=PA'，P'A=P'A'。在△A'P'B中，A'B<P'A'+P'B（三角形两边之和大于第三边），即PA'+PB<P'A'+P'B，所以PA+PB<P'A+P'B。因此，PA+PB最短。这个例题的核心就是利用轴对称实现了“折转直”的转化，将同侧问题转化为异侧问题，从而直接应用基本事实求解。三、自我小测请同学们独立完成以下练习，注意作图规范，并尝试写出解题思路或证明过程（如果题目要求）。练习1：如图，在直线MN的同侧有两个村庄A和B。现要在直线MN上修建一个公共汽车站P，使得车站P到A村和B村的距离之和最小。请在图中作出车站P的位置。（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）练习2：已知：如图，点A、B在直线l的异侧，在直线l上求作一点P，使得|PA-PB|的值最大。（提示：思考如何利用轴对称将其转化为我们熟悉的问题）练习3：如图，一个港湾的两岸有A、B两个码头，要在A、B码头之间修一条公路，并且在公路上修建一个物资中转站C，要求中转站C到A、B码头的距离相等，同时，从A码头到中转站C再到位于岸上另一侧（相对于公路）的仓库D的总路程最短。请你设计出中转站C的位置，并说明理由。（假设公路是一条直线，仓库D的位置固定）练习4：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=6。点D、E分别是AB、AC边上的动点，连接DE，求DE+EC的最小值。（提示：可以考虑作点C关于AB的对称点，或者点E关于AB的对称点？哪种更合适？）四、拓展思考（选做）*在解决最短路径问题时，如果遇到的不是一条直线，而是两条相交直线（比如台球碰壁问题），我们又该如何利用轴对称的知识进行转化呢？*除了“两点之间线段最短”，我们学过的“垂线段最短”这一性质，在某些最短路径问题中又能发挥怎样的作用？它与轴对称方法有何联系与区别？五、总结与反思完成了以上练习后，建议同学们从以下几个方面进行总结与反思：1.策略运用：在面对一个新的最短路径问题时，你是如何想到运用轴对称来解决的？题目中哪些信息提示了你可以这样做？2.作图规范：尺规作图是几何学习的基本功，在确定最短路径的关键点时，你的作图是否规范、准确？3.逻辑表达：对于“为什么这样得到的路径就是最短的”，你能否清晰、有条理地进行解释或证明？这是对数学严谨性的训练。4.一题多解与变式：某些题目可能存在多种解法，或者可以进行适当的变式拓展，思考这些有助于加深理解。学习是一个不断探索和积累的过程。最短路径问题形式多样，但核心思想往往相通。希望通过今天的小测，大家不仅能熟练掌握解题方法，更能体会到数学思维的灵