2025-2026学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在▱ABCD中，若∠A=125°，则∠B的度数是（）A.75°

B.65°

C.55°

D.45°2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.a（x+y）=ax+ay B.a2-a-2=a（a-1）-2

C.（b+3）（b-3）=b2-9 D.y2-4y+4=（y-2）23.多项式5m2n-10mn2中各项的公因式是（）A.mn B.5mn C.m2n2 D.5m2n24.下列等式一定成立的是（）A.= B.= C.= D.=5.如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的对角线交点为原点O，若点A的坐标为（m,n），则点C的坐标为（）A.（-m,-n）

B.（m,-n）

C.（-m,n）

D.（-n,-m）6.在2026年米兰——科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播.据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这（a+b）天该赛事的日均收看人数是（）A.万 B.万 C.万 D.万7.2026年3月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试.已知在一次配送中无人机的飞行路程为2海里，快艇的航线路程为3海里，无人机的平均速度是快艇的2倍，且无人机比快艇的配送时间少10分钟.设快艇的平均速度为x海里/小时，根据题意可列分式方程（）A. B. C. D.8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=9，∠C=45°，点E为CD中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F，则线段AF的长度为（）A.10 B. C.12 D.9.已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y.若d=x-y,且d是某个整数的平方，则d可能的值为（）A.16 B.25 C.36 D.6410.如图1，在△ABC中，AB=8，，∠ABC=30°，DE是△ABC的中位线.点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN.现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180°，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示.当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论：

①旋转后拼成的图形始终是平行四边形；

②线段MN的最小值为2；

③线段MN的最大值为；

④旋转后拼成图形的周长是；

⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为.

以上结论正确的有（）

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.五边形的外角和为

.12.当x=______时，分式的值为零．13.若多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是

.（写出一个即可）14.如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a,b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2=

.

15.在▱ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC与BD相交于点O.已知点E，F分别在边AB，BC上，且AE=CF=，连接CE与AF.若点M，N分别为AF，EC的中点，连接MN，则MN=

.

三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题6分)

因式分解：

（1）3a2-3b2；

（2）.17.(本小题7分)

解方程：（1）；（2）.18.(本小题7分)

先化简，再求值：已知r=2026，求的值.19.(本小题8分)

已知：如图，在▱ABCD中，AC是▱ABCD的一条对角线，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.求证：AE=CF.20.(本小题8分)

我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”.

小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p,内圆的半径为r,内圆的周长为q,他想利用相关知识证明：.

小明做出以下思考：利用圆的周长公式可得，，利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S=πR2-πr2…请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明.21.(本小题10分)

在由小正方形组成的7×7方格纸中，每个小方格的边长均为1.A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图.

（1）如图，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段CD，连接AD，得到四边形ABCD；

（2）四边形ABCD的面积为______，点P是四边形ABCD外一点，过点P作直线l,使直线l平分四边形ABCD的面积；

（3）在图中的格点上找一个点Q，使得△QBC的面积为4，满足条件的点Q的个数为______.

22.(本小题10分)

问题：已知ab=1，求的值.

小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法：

已知ab=1，则a,b≠0，原式=.

请阅读上述材料，解决下列问题：

（1）已知ab=1，则=______；

（2）已知ab=1，求的值.23.(本小题10分)

为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量.某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备.甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同.

（1）求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；

（2）该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？24.(本小题12分)

如图，在▱ABCD中，BC=4cm,点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts.

（1）连接BD，EF，当EF经过BD的中点O时，求证：EO=OF；

（2）请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？25.(本小题12分)

【回归课本】

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.求证：∠B=∠C.

证明过程如下：

证明；如图，过D作DM∥AB交BC于点M，

则∠1=∠B.

∵AD∥BM，AB∥DM，

∴四边形ABMD是①_____.

∴②_____.

又∵AB=DC，

∴DC=DM.

∴∠1=∠C.

∴∠B=∠C.

请完成填空：①______；②______；

【问题联想】

（2）如图2，在（1）的条件下，延长CD至点P，使PD=CD，连接BP.若AB=5，AD=4，BC=10，求出BP的长.

【问题解决】

（3）如图3，在Rt△ABC中，点D，E分别为线段AB和线段AC上的点，且AD=EC，BD=AC，请直接写出线段BE和线段DC的数量关系.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】360°

12.【答案】3

13.【答案】2x（答案不唯一）．

14.【答案】（a+b）（3a+b）．

15.【答案】．

16.【答案】3（a+b）（a-b）

17.【答案】解：（1）方程两边同乘以x（x-1）得：

3x=4x-4，

整理得：x=4，

检验：当x=4时，x（x-1）=12，

所以x=4为原方程的解，

（2）方程两边同乘以x-2得：

1+3x-6=x-1，

整理得：2x=4，

x=2，

检验：当x=2时，x-2=0，

所以原方程无解．

18.【答案】1+r；2027．

19.【答案】∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB=∠CFD=90°；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA．

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE=CF．

20.【答案】因为圆环形面积S=πR2-πr2，

且，，

代入得：

=

=

=

=

=

=．

21.【答案】图形如图1所示

如图1中，直线l即为所求；四边形ABCD的面积=2××5×2=10；

7

22.【答案】1

1

23