高三二轮高效复习主题巩固卷数学不等式的证明

[课下巩固检测练(五)]不等式的证明(每题10分)1.(2025·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝axlnxa≠(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a＝1，求证：f(x)＞－5x2＋2x－35解：(1)由题意知f'(x)＝a1+lnx当a＞0时，令f'(x)＞0，解得x＞1e，令f'(x)＜0，解得0＜x＜1所以f(x)在0，1e上单调递减，在当a＜0时，令f'(x)＞0，解得0＜x＜1e，令f'(x)＜0，解得x＞1所以f(x)在0，1e上单调递增，在(2)证明：若a＝1，f(x)＝xlnx，所以f'(x)＝1＋lnx，所以当x∈0，1e时，f'(x)＜0，当x∈1e，＋∞时，所以f(x)在0，1e上单调递减，在(1e所以f(x)的最小值为f1e＝－1设函数hx＝－5x2＋2x－35＝－5(x－15)2－所以hx在0，＋∞上的最大值为h15＝－故f(x)＞－5x2＋2x－352.(2025·云南昆明一模)已知函数f(x)＝x－1x－alnx(1)若f(x)在点1，0处的切线与曲线y＝x2＋2x－3相切，求(2)若b，c是f(x)的两个极值点，设B(b，f(b))，Cc，fc，直线BC的斜率为k，证明：a＋k解：(1)由题意知，f(x)的定义域为0，＋∞，f'(x)＝1＋1所以f'1＝2－a，故在点1，0处的切线方程为y＝联立y＝x2+2x－3，y＝2－由Δ＝a2＋4a＋4＝0，解得a＝－2.(2)由题意知，f'(x)＝1＋1x2－ax＝x2-ax+1x2，b，c∈0所以b＋c＝a＞0，bc＝1，Δ＝a2－4＞0，所以a＞2，不妨设b＞c，则b＞1，则直线BC的斜率k＝fb-fcb故要证a＋k＞2，即证a＋2－2alnbb-1b＞2，即证b－1设函数gb＝b－1b－2lnb，b＞1则g'b＝1＋1b2－2b＝b所以gb在1，＋又b＞1，故gb＞g1＝0，即b－1b－2lnb＞0成立所以a＋k＞2.3.(2025·辽宁锦州二模)已知f(x)＝aex＋sinx＋b.(1)若f(x)在0，π2上单调递增，求(2)若f(x)的图象在0，f0处的切线为y＝2x，求a与b的值，并证明x＞0时，f(x)＞ln解：(1)若f(x)在0，π2上单调递增，则f'(x)＝aex＋cosx＝exa＋cosxex设g(x)＝a＋cosx则g'x＝-sinx-cosxe所以g(x)在0，π所以只需gπ2≥0，即a≥0所以a的取值范围是0，(2)因为f0＝a＋b，f'0＝a＋1，所以f(x)在0，f0处切线方程为y＝a＋1x根据题意，该切线为y＝2x，所以a＋1=2，a＋b=0，解得所以f(x)＝ex＋sinx－1，因为sinx≥－1，所以f(x)≥ex－2，下面证明：ex－2＞lnx，方法一：先证ex－2＞x－1，即ex－x－1＞0x＞令g(x)＝ex－x－1x＞则g'x＝ex－1＞0，所以g(x)在0，＋所以g(x)＞g0＝0，即ex－2＞x－1，①再证x－1≥lnx，即x－1－lnx≥0x＞令φx＝x－1－lnx，则φ'x＝1－1x＝x当0＜x＜1时，φ'x＜0，当x＞1时，φ'x＞0，所以φx在0，1上是减函数，在(1，＋∞)所以φxmin＝φ1＝0，即x－1－lnx≥0所以x－1≥lnx，②由①②得ex－2＞lnx，综上，f(x)＞lnx在0，＋方法二：设F(x)＝ex－2－lnx，则F'x＝ex－1x因为y＝ex，y＝－1x两个函数均在0，＋∞上单调递增，所以F'x因为F'12＝e－2＜0，F'1＝e－1＞0所以∃x0∈12，1使F'x0＝ex0－1x0＝0，所以ex0＝1当x∈0，x0时，F'x＜0，x∈x0，＋∞所以F(x)在0，x0单调递减，在所以F(x)≥Fx0＝ex0－2－lnx0＝x0＋1x0－2≥2x0·1x当且仅当x0＝1时等号成立，因为x0≠1，所以F(x)＞0，即ex－2＞lnx，所以f(x)＞lnx在0，＋4.(2025·山东青岛一模)已知函数f(x)＝ax－sinx，x∈－π(1)当a＝12时，讨论f(x)的单调性(2)若f(x)有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：M－m＜2.解：(1)当a＝12时，f(x)＝12x－sinx，x∈则f'(x)＝12－cosx当－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2时，f'(x)≥0；当－π3＜x＜π3时，f'所以函数f(x)在－π3，π3上单调递减，在(2)由f(x)＝ax－sinx，x∈－π2，π2，得f'(x)＝a因为函数f(x)有两个极值点，所以方程f'(x)＝a－cosx＝0有两个不相等的实根，设为x1，x2且x1＜x2，因为函数y＝cosx在x∈－π2，π所以x1＋x2＝0，即cosx1＝cosx2＝a∈0，当x∈－π2，x1时，f'(x)＞0，f当x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈x2，π2时，f'(x)＞0，f(所以x1，x2分别是函数的极大值点和极小值点，即M＝f(x1)＝ax1－sinx1，m＝f(x2)＝ax2－sinx2，又x1＋x2＝0，即