【解析】北京海淀20中高三上12月月考数学（理）试题

2016—2017学年第一学期高三数学（理）12月月考一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案代号填涂在答题纸上．1．集合，，若，则的值为（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，，∴，∴．故选．2．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由，，得：，解得，．故选．3．命题“存在，”的否定是（）．A．不存， B．存在， C．对任意， D．对任意的，【答案】D【解析】对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论．因此命题“存在，”的否定是：“对于任意的，”．故选．4．已知直线与平行，则等于（）． A．或 B．或 C． D．【答案】C【解析】由题意可知且，解得：．故选．5．已知函数的最小正周期为，刚该函数的图象（）．A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称【答案】B【解析】根据题意得，，故．∴，．∴该函数的图象关于直线对称，不关于点和对称，也不关于直线对称．故选．6．已知是以，为焦点的椭圆上一点，若且，则椭圆的离心率为（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】∵点是以，为焦点的椭圆上一点，，，∴，设，则．由椭圆定义可知，∴，∴，则．由勾股定理知，即，计算得出，∴．故选．7．甲、乙、丙等个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】先排甲、乙、丙，共有种排法，再将剩余人插进去，∴人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有种．故选．8．如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，．∴，，∴，，∴，．故选．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题纸上．9．双曲线的虚轴长为____________．【答案】【解析】双曲线化为标准方程为，∴，．故虚轴长为．10．如图中阴影部分的面积等于____________．【答案】【解析】根据题意，所求面积为函数在区间上的定积分值，即该阴影部分面积为．11．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为____________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为．∵抛物线的准线方程与圆相切，∴，．12．已知直线，与平面、，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中所有真名题的序号是_____________．【答案】②③【解析】①若，，则，平行，相交，异面都有可能，故①错误；②，则存在且，又，所以，故，②正确；③若，，则存在直线，使，由面面垂直的判定定理可知③正确；④若，，则或，故④错误．综上所述，所有真命题的序号为②③．13．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为___________（用“”连接）．【答案】【解析】根据频率分布直方图知，甲的数据的两端的数字较多，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大．乙的数据，分布均可，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲组中的小．丙的数据绝大部分都集中在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小．故本题的正确答案为．14．已知函数，则（ⅰ）____________．（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形．其中，所有真名题的序号是____________．【答案】（ⅰ）；（ⅱ）①③【解析】（ⅰ）由题可知，所以．（ⅱ）①若为有理数，则也为有理数，∴，若为无理数，则也为无理数，∴，综上有，∴函数为偶数，故①正确．②根据可知：假设存在等腰直角三角形，则斜边知能在轴上或在直线上，且斜边上的高始终是，不妨假设在轴，则，故点，的坐标不可能是无理数，故不存在．另外，当在上，在轴时，由于，则的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，故②错误．③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且对角线互相垂直，所以可以做出点为顶点的四边形为菱形，故③正确．综上，所有真命题的序号是①③．15．（本小题满分分）在中，已知．（Ⅰ）求角的值．（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】【解析】（）∵，∴．∵，∴，从而．∴．（）∵，，根据正弦定理得，∴．∵，∴．所以的面积．16.（本小题满分分）设直线与圆相交于，两点，问是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】【解析】∵直线垂直平分弦，∴直线经过圆心．又∵直线过点，∴直线的斜率为，∴直线的方程为的斜率为，∴，此时，圆心到的距离，符合题意．故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，此时．17．（本小题满分分）某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出，，，的值．（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是分以上（含分）的同学中随机抽取名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的名同学来自同一组的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的名同学中来自第组的人数，求的分布列及其数学期望．组别分组频数频率第组第组第组第组第组合计【答案】【解析】（）由题意可知，，，．（）由题意可知，第组有人，第组有人，共人．从竞赛成绩是分以上（含分）的同学中随机抽取名同学有种情况．设事件：随机抽取的名同学来自同一组，则．故随机抽取的名同学来自同一组的概率是．（）由（）可知，的可能的值为，，，则：，，．所以，的分布列为：．18．（本小题满分分）己知四棱锥中，平面，底面是菱形，且．，、的中点分别为，．（Ⅰ）求证．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（）证明：连结，．∵平面，平面，∴．又∵底面是菱形，，，∴是正三角形．∵是的中点，∴．又∵，平面，平面，∴平面，∴．（）由（）得，由可得．又∵底面，∴，．∴以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，．∵平面，∴平面的法向量为．又∵，．设平面的一个法向量，则：，即，令，则，，∴．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值为．（）是线段上的一点，设．∵，∴．又∵，．设平面的一个法向量为，则：，即，∴，∵平面，∴，，即，解得．故线段上存在一点，使得平行于平面，是中点．19．（本小题满分分）已知，函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．（Ⅱ）求在区间上的最小值．【答案】【解析】（）当时，，，∴，，∴，即曲线在点处的切线斜率为．又∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．（）∵，∴．令，得．①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．③当，则当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．综上所述，当时，函数在区间上无最小值．当时，函数在区间上的最小值为．当时，函数在区间上的最小值为．20．（本小题满分分）已知椭圆过点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若椭圆上存在点、关于直线对称，求的所有取值构成的集合，