初中数学九年级下册《位似图形》教案（第一课时）

初中数学九年级下册《位似图形》教案（第一课时）

一、教学理念与设计总览

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉承“以学生发展为本”的教育理念。教学不再局限于对位似图形概念的识记与性质的简单应用，而是致力于构建一个探究性、结构化、跨学科联通的学习场域。

核心理念：

1.素养本位：超越知识技能，聚焦于培养学生的几何直观、空间观念、推理能力和模型思想。引导学生从“是什么”转向“为什么”和“如何用”，经历完整的数学概念发生、发展过程。

2.建构主义学习观：承认学生已有的“相似图形”知识基础，通过创设认知冲突和提供丰富的直观素材，引导学生在观察、操作、比较、归纳中主动建构“位似”这一新概念的意义网络。

3.技术与学科深度融合：将动态几何软件（如GeoGebra）作为认知工具和探究平台，化静态为动态，化抽象为具体，让学生直观感知位似变换的连续过程与不变性质，突破传统教学的难点。

4.跨学科视野：有机融合物理（光学成像）、艺术（透视与缩放）、信息技术（图像处理）等领域的相关情境，揭示数学概念的普遍性与工具性，培养学生的跨学科思维与应用意识。

设计亮点：

1.情境线、问题线、活动线、认知线“四线融合”，确保教学逻辑流畅，学生思维层层递进。

2.“概念建构—性质探究—画法提炼—拓展应用”螺旋上升式的学习路径。

3.差异化任务设计，满足不同层次学生的学习需求，实现“人人都能获得良好的数学教育”。

二、教学背景分析

（一）教材分析

本节内容隶属人教版九年级下册第二十七章“相似”中的第七节“位似”。从教材编排体系看，它是在学生系统学习了“图形的相似”、“相似三角形的判定与性质”之后，对相似关系的一种深化和特殊化研究。位似是特殊的相似，其核心在于对应点的连线交于一点（位似中心）且对应边平行（或在同一直线上）。它不仅是相似知识的综合运用，更是连接初等几何与高等几何（变换几何）的重要桥梁，为后续学习投影、视图、坐标系中的位似变换（在高中可能涉及）奠定基础。

地位与作用：本节内容承上启下，是培养学生用变换的观点认识图形的关键节点。第一课时聚焦于位似图形的概念、基本性质与简单画法，是后续学习位似变换、在平面直角坐标系中画位似图形的基础。

（二）学情分析

认知基础：

1.知识基础：学生已经掌握了相似多边形的定义、判定和性质，能够识别相似图形，理解相似比的概念。掌握了平行线分线段成比例定理及其推论。具备尺规作图的基本技能。

2.能力基础：九年级学生具备一定的观察、归纳、概括和推理能力，能够进行小组合作探究。部分学生可能接触过简单的图形变换（平移、旋转、轴对称），但对“位似变换”这一观念较为陌生。

3.思维障碍预判：

1.4.容易混淆“位似”与“相似”，难以把握“位似是特殊的相似”这一核心。

2.5.对“位似中心的位置”（在位似图形内部、边上或外部）的多样性理解可能存在困难。

3.6.在动手画位似图形时，可能机械记忆步骤，而不理解其几何原理（平行线分线段成比例）。

心理特点：九年级学生抽象逻辑思维迅速发展，喜欢挑战性和探索性的任务，但对纯粹的抽象说教容易感到枯燥。他们更倾向于在“做数学”、“用数学”的过程中获得成就感。

（三）教学重难点

1.教学重点：

1.2.位似图形的概念（内涵：①相似；②对应点连线交于一点；③对应边平行或共线）。

2.3.位似图形的基本性质（对应点到位似中心的距离之比等于相似比）。

3.4.利用位似原理，用尺规（或借助方格纸）画已知图形的位似图形。

5.教学难点：

1.6.对位似概念本质的理解，特别是位似中心在不同位置时，图形关系的辨识。

2.7.位似性质的探究与证明（从特殊到一般，逻辑推理）。

3.8.内位似与外位似的区分与画法。

三、教学目标

基于以上分析，确立如下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.理解位似图形的概念，能准确阐述位似图形的两个核心要素。

2.掌握位似图形的基本性质，能运用性质进行相关计算和推理。

3.能熟练地利用尺规或方格纸，将一个图形放大或缩小成位似图形，理解位似中心位置对图形的影响。

2.过程与方法：

1.经历从生活实例抽象出数学概念的过程，发展数学抽象能力。

2.通过观察、猜想、实验、论证，探究位似图形的性质，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想方法。

3.在画图实践中，感悟位似原理，提升几何作图技能和空间想象能力。

3.情感、态度与价值观：

1.通过感受位似在摄影、测绘、艺术等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和美学价值，激发学习兴趣。

2.在探究活动中，培养敢于质疑、乐于合作、严谨求实的科学态度。

3.建立用图形变换的视角观察世界的意识，提升数学素养。

四、教学准备

1.教师准备：

1.2.精心制作的多媒体课件（内含生活实例图片、动画演示）。

2.3.GeoGebra动态几何软件及预设的交互课件（用于动态展示位似变换）。

3.4.实物道具：小孔成像演示仪、两个相似但大小不同的三角形硬纸板（可连接对应顶点）。

4.5.导学案（含探究任务单、分层练习）。

6.学生准备：

1.7.复习相似多边形的相关知识。

2.8.直尺、圆规、量角器、方格纸。

3.9.预习导学案中的情境问题。

五、教学过程实施

（一）创设情境，激趣引新（预计时间：8分钟）

活动1：观图激疑

1.课件展示一组图片：

1.2.情境A（物理）：小孔成像的光路图与成像结果。

2.3.情境B（艺术）：一幅画的透视效果图，或利用投影仪将幻灯片上的图形放大到屏幕上。

3.4.情境C（生活）：同一建筑物在不同距离拍摄的照片，或地图上的比例尺与实地景物的关系。

5.教师提问：

*“这些图片中的两个图形有什么共同关系？”（学生答：形状相同，大小不同——相似）。

*“那么，这种相似关系与我们之前学过的任意两个相似图形（如两个形状相同的三角板）相比，有没有什么‘特别’之处？仔细观察对应点之间的连线。”

活动2：操作感知

教师拿出两个相似三角形硬纸板△ABC和△A‘B’C‘，固定其中一个，移动另一个，并邀请学生上台用细绳连接对应顶点A与A‘、B与B’、C与C‘。

关键提问：“当你移动其中一个三角形时，这些连接对应顶点的绳子（或其延长线）呈现出怎样的规律？试着找到一个特殊的位置。”

设计意图：从多学科的真实情境出发，唤醒学生的相似图形旧知，同时制造认知冲突——这些情境中的相似似乎有更强的“约束”。通过实物操作，让学生直观感受到“对应点连线交于一点”这一隐含的几何特征，为抽象概念积累鲜活的感性经验。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：12分钟）

活动3：定义生成

1.抽象建模：教师在GeoGebra中动态重现上述操作过程。在屏幕上显示两个相似五边形，拖动其中一个，软件实时显示所有对应顶点连线的变化。最终定格在“所有对应点连线相交于同一点O”的状态。

2.小组讨论（导学案任务一）：

1.3.观察定格后的图形，这两个相似多边形除了“形状相同”，还有什么独特的几何特征？

2.4.请尝试用准确的语言描述这种特殊的相似关系。

5.归纳定义：各小组汇报后，教师引导学生逐步完善表述，最终给出严谨的数学定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。

6.概念辨析（深化理解）：

1.7.问题1：“位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？”（明确：位似是特殊的相似，是包含关系。）

2.8.问题2：教师在GeoGebra中展示位似中心位于图形内部、边上、外部的三种典型情况。提问：“位似中心的位置会影响‘位似’关系的成立吗？”（明确：不影响，关键是连线共点。）

3.9.问题3：展示几组图形（一组是位似，一组只是相似但不是位似），让学生快速判断，并说明理由。强调定义中的两个条件缺一不可。

设计意图：将实物操作升华为数字化动态演示，使数学对象从静态变为可操纵、可观察的，更利于学生发现本质规律。通过小组讨论，让学生经历定义的产生过程，培养其数学概括和表达能力。紧接着的辨析环节，通过正反例和变式，多角度冲击学生对概念的理解，防止机械记忆，深刻把握“对应点连线交于一点”这一核心特征。

（三）深入探究，发现性质（预计时间：15分钟）

活动4：性质猜想与验证

1.观察与测量：回到GeoGebra中已构造好的位似图形（如五边形ABCDE与A‘B’C‘D’E‘，位似中心为O）。教师引导学生：

1.2.测量OA与OA‘、OB与OB’……的长度，计算OA‘/OA，OB’/OB……的值。

2.3.测量AB与A‘B’、BC与B‘C’……的长度，计算A‘B’/AB，B‘C’/BC……的值。

3.4.观察这两组比值有什么关系？它们与这两个图形的相似比有何关系？

4.5.（学生通过软件测量，很快发现：对应点到位似中心的距离之比相等，且等于相似比；对应边平行。）

6.提出猜想：

1.7.猜想1：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比k。

2.8.猜想2：位似图形的对应边互相平行（或共线）。

活动5：推理与证明

1.证明猜想1（以特例引导）：

1.2.教师在黑板上画出位似中心O在图形外部的两个位似三角形△ABC和△A‘B’C‘，且AB//A’B‘。

2.3.提问：如何证明OA‘/OA=OB’/OB=k？

3.4.引导学生分析：已知△ABC∽△A‘B’C‘，故∠OAB=∠OA’B‘（由平行得同位角相等），又∠AOB=∠A’OB‘（对顶角），可证△OAB∽△OA’B‘。从而OA’/OA=A‘B’/AB=k。同理可证其他。

4.5.提炼思想：将“点距之比”的问题，转化为证明以位似中心和对应点为顶点的三角形相似，利用了“平行→相似”这一桥梁。

6.证明猜想2：

1.7.由上述证明过程，已自然得出AB∥A‘B’。对于其他边，证明思路相同。

2.8.讨论位似中心在图形内部或边上时，对应边可能共线的情况。

9.归纳性质：

1.10.性质1（核心性质）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比k。

2.11.性质2：位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）。

3.12.补充说明：k>1时，图形放大；0<k<1时，图形缩小；k的符号还可表示方向（后续课时学习）。

设计意图：从实验测量到猜想，符合科学发现的一般过程。GeoGebra的测量功能使数据获取快速准确，让学生将精力集中于规律发现。证明环节则从实验几何提升到论证几何，培养学生严谨的逻辑推理能力。通过分析证明思路，让学生深刻理解性质1与性质2之间的内在联系，构建知识网络。

（四）实践应用，掌握画法（预计时间：12分钟）

活动6：画法探究

任务：已知△ABC和位似中心O，求作△ABC的位似图形△A‘B’C‘，使相似比为2:1（放大）。

1.方法探索（小组合作）：

1.2.基于刚刚学到的性质，思考：要确定A‘，需要满足什么条件？（OA’：OA=2：1，且A、O、A‘共线）

2.3.如何利用尺规作图找到这样的A’点？（引导学生想到平行线分线段成比例的逆用，或直接利用“在射线OA上截取OA‘=2OA”）

3.4.确定A‘后，如何确定B’和C‘？（方法一：同样在射线OB、OC上截取；方法二：利用性质2，过A’作AB、AC的平行线……）

5.步骤归纳：

1.6.方法一（连线截取法）：

(1)连接OA、OB、OC；

(2)分别在射线OA、OB、OC（或其反向延长线，取决于位似中心位置和放大缩小）上取点A‘、B’、C‘，使得OA‘/OA=OB’/OB=OC‘/OC=k；

(3)顺次连接A‘、B’、C‘，所得△A’B‘C’即为所求。

2.7.方法二（平行线法）：

(1)在OA（或其延长线）上取A‘，使OA’/OA=k；

(2)过A‘分别作AB、AC的平行线，与OB、OC（或其延长线）相交于B’、C‘；

(3)连接B’、C‘。

8.动手实践：

1.9.学生在导学案提供的不同位置的点O和△ABC上，分别用两种方法画图。

2.10.教师巡视指导，关注学困生，收集典型错误（如方向弄反、比例计算错误等）。

11.变式与拓展：

1.12.提问：“如果要求把△ABC缩小为原来的1/3，画法有何不同？”（强调取点时在线段OA上，而非延长线上）。

2.13.在方格纸背景下，如何更简便地画位似图形？（引导学生利用网格确定对应点的位置，实质是坐标思想的渗透）。

设计意图：将画法作为性质的自然应用，让学生“为理解而画”，而非机械模仿步骤。通过比较两种画法，让学生体会其内在一致性（都基于位似性质），感受数学的灵活性。动手实践环节巩固技能，变式问题则促使学生思考位似中心位置与放大缩小的关系，深化理解。

（五）分层训练，巩固升华（预计时间：8分钟）

【基础巩固层】

1.判断题：

(1)两个位似图形一定是全等图形。（）

(2)位似图形的相似比等于其周长比。（）

(3)位似中心一定在图形的外部。（）

2.如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，若OA：OD=2：3，则△ABC与△DEF的相似比为______，面积比为______。

【能力提升层】

3.如图，四边形ABCD与四边形A‘B’C‘D’位似，O为位似中心。

(1)若OA‘：OA=3：5，求四边形A’B‘C’D‘与四边形ABCD的周长比。

(2)若四边形ABCD的面积为18cm²，求四边形A’B‘C’D‘的面积。

4.请用尺规作图，将给定的五边形ABCDE以点O为位似中心，相似比1：2进行缩小。

【思维拓展层】

5.（跨学科联系）小孔成像实验中，蜡烛火焰高2cm，蜡烛到小孔的距离为10cm，光屏到小孔的距离为15cm。请问光屏上火焰像的高度是多少？请用今天所学的知识解释其原理。

6.（探究题）在平面直角坐标系中（提前渗透），已知点A(2，4)，B(4，0)，O(0，0)。以O为位似中心，相似比为0.5，作出线段AB的位似图形A‘B’。你能写出A‘、B’的坐标吗？它们与A、B的坐标有何关系？

设计意图：分层练习满足不同层次学生的需求，实现“保底不封顶”。基础题巩固概念和简单性质；能力提升题综合运用性质进行计算和作图；拓展题将数学与物理结合，体现应用价值，同时渗透坐标思想，为下节课埋下伏笔。教师当堂巡视，快速批改组长的答案，然后由组长组织组内互评与帮扶，提高反馈效率。

（六）课堂小结，反思提升（预计时间：5分钟）

活动7：结构化总结

教师不直接复述，而是引导学生以思维导图或知识树的形式，自主梳理本节课的核心内容。

引导框架：

1.中心概念：位似图形（关键词：相似、对应点连线共点）。

2.核心性质：距离比等于相似比；对应边平行（共线）。

3.基本技能：位似图形的识别与尺规作图（两种方法）。

4.思想方法：从特殊到一般、转化化归、数形结合。

5.应用联系：生活中的位似（成像、绘图等）。

活动8：反思与展望

1.提问：“通过本节课的学习，你最大的收获是什么？还有什么困惑？”

2.教师总结提升：“今天，我们从一个更‘严谨’的视角重新审视了生活中的放大与缩小现象，抽象出了‘位似’这一数学概念。它不仅是相似家族中的‘贵族’，更是一种强大的图形变换工具。下节课，我们将把位似‘请进’直角坐标系，探索它更精确、更强大的表达和应用。”

设计意图：引导学生进行自主的知识梳理，构建结构化认知，比教师简单重复更有效。开放式的小结让学生分享收获与困惑，教师能及时获取反馈。最后的展望既总结了本课，又激发了学生对后续内容的学习期待。

六、板书设计

（左侧主板）

§27.3位似图形（一）

一、概念

1.定义：两个相似图形+对应点连线交于一点（位似中心O）

2.辨析：位似⊂相似

二、性质

1.OA‘/OA=OB’/OB=…=k(相似比)

2.AB∥A‘B’，BC∥B‘C’，…

三、画法（以放大为例）

方法一：连线截取

(1)连OA,OB,OC…

(2)在射线上截取OA‘=k·OA…

(3)连接对应点

方法二：平行线法

(1)取点A‘

(2)过A’作平行线

(3)得交点B‘,C’…

（右侧副板）

1.学生探究区（用于展示学生画图成果或关键步骤推导）

2.关键词：相似比、位似中心、放大、缩小、对应点

七、作业设计

必做题：

1.教材课后习题27.3第1、2题（巩固概念与性质）。

2.在练习本上，任画一个四边形，自选一点O为位似中心，分别画出它放大2倍和缩小一半的位似图形。

选做题：

3.查阅资料，了解“黄金分割”与“自相似图形”（如分形）的知识，思考它们与“位似”是否有联系？写一篇不超过200字的小报告。

4.利用GeoGebra软件，创建一个可以动态调整位似中心位置和相似比的位似图形生成器。

实践作业：

5.“寻找身边的位似”：用手机或相机拍摄一组体现位似现象的照片（如路灯下的影子、后视镜中的景象、透过玻璃水珠看