河北省衡水市第三中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

河北省衡水三中2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷一、单选题（12小题，每题3分，共36分）1.下列是二元一次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；B．，是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；D．，是二元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．2.下列运算中，结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法；根据同底数幂的除法，积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项正确，符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选不正确，不符合题意；故选：B3.如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（）A.1点钟方向 B.2点钟方向 C.7点钟方向 D.8点钟方向【答案】B【解析】【分析】此题考查了方位角，钟面角，首先求出相邻两个数之间的夹角为，进而根据方位角求解即可．【详解】∵钟表一圈，共有12个数字，∴平均分成12份∴相邻两个数之间的夹角为∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，∴她可以说学校在家的2点钟方向．故选：B．4.已知x=3-k，y=k+2，则y与x的关系是（）A.y=x-1 B.x+y=1 C.x-y=2 D.x+y=5【答案】D【解析】【分析】已知两等式消去k即可得到y与x的关系式．【详解】解：联立得：，①+②得：x+y=5．故选：D．【点睛】此题考查了解二元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．5.如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，利用平行线的判定方法逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．详解】解：、∵，∴，故此选项正确，不符合题意；、∵，∴，故此选项不符合题意；、∵，∴，故此选项正确，不符合题意；∵，∴，故此选项正确，不符合题意；故选：．6.下列命题为真命题的是（）A.由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形B.三角形的重心是三条高的交点C.三角形的角平分线、中线、和高线都是线段D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握三角形定义、三角形重心的定义、三角形高线、中线和高线的定义，垂线的性质等知识，难度不大．利用三角形定义、三角形重心的定义、三角形高线、中线和高线的定义，垂线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、由三条线段首尾顺次相接组成的一个封闭图形叫三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的重心是三条中线的交点，故错误，是假命题，不符合题意；C、三角形的角平分线、中线、和高线都是线段，正确，是真命题，符合题意；D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，是假命题，不符合题意．故选：C．7.计算，结果用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法的运算．通过提取公因数简化计算后，将结果调整为标准的科学记数法形式．【详解】解：，因此，结果为，故C正确．故选：C．8.已知a<b，下列式子不成立的是（）A.a＋10<b＋10 B.30a<30b C.－2a>－2b D.ac<bc（c<0）【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质，依次判断即可．【详解】解：根据不等式的性质，不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，故A选项正确；根据不等式的性质，不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，故B选项正确；根据不等式的性质，不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，故C选项正确；根据不等式的性质，不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．9.将一副三角尺如图放置，其中，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，结合，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数．【详解】解：，，，．又，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．10.下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（）A.①② B.②③ C.② D.③【答案】D【解析】【分析】分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断．【详解】解：图①中，阴影部分面积相等，左边图形的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，，①可以验证平方差公式．图②中，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，，②可以验证平方差公式．图③中，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，显然不是平方差公式，故③不可以验证平方差公式．故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．11.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据幂的乘法法则，同底数幂相乘时，底数不变，指数相加．每个因式均为，共有个这样的因式相乘，因此总指数为累加次，即．因此，原式可化简为．【分析】解：A．：错误，指数应为而非，且系数应为1而非．B．：错误，指数应为相加而非相减．C．：正确，符合幂的乘法法则．D．：错误，混淆了指数与系数的运算．故选：C12.三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（我们规定）．①的度数为；②是“灵动三角形”；③若，则是“灵动三角形”；④当为“灵动三角形”时，为或．结论正确的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了新定义问题，正确分类，灵活计算是解题的关键．根据定义，逐一计算判定即可．【详解】∵，，∴，故①正确；∵，∴是“灵动三角形”，故②正确；∵，∴，，∵，∴是“灵动三角形”，故③正确；∵为“灵动三角形”，，∴或或或或或，∵，∴，舍去；当时，∴，∴；当时，根据题意，得，解得，故，当时，根据题意，得，解得，∴不符合题意；当时，根据题意得：∴当时，根据题意得：∴，不符合题意；综上所述，为或或故④错误；综上所述正确的有：①②③；故选：C．二、填空题（每空3分，共15分）13.计算：，正确结果是________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查有理数的乘方、有理数的乘法，灵活运用以上知识点是解题的关键．先变形，再计算即可．【详解】解：．故答案为：1．14.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为______；【答案】1【解析】【分析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．【详解】解：，得，，代入，可得，解得：，故答案为：1．15.指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，则图中的度数是________．【答案】【解析】【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是构造辅助线．延长交于，延长交于，过作，然后利用平行线的性质得到角的关系，再利用三角形外角的性质求出角的度数即可．【详解】解：如图，延长交于，延长交于，过作，，，，，，，，，，同理：，．故答案为：．16.要度量作业纸上两条相交直线a、b所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量．（1）小明的方案：画直线c与a、b相交，如图①，测得，，则______（用含m、n的代数式表示）；（3）小刚的方案：画直线c与a、b相交，再画∠1、∠2相邻的外角的角平分线交于点O，如图②，则得，则______（用含p的代数式表示）．【答案】①.

②.

【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理即可求出答案；（2）利用角平分线的定义，邻补角的定义计算即可．【详解】（1）∵，∴；故答案为：；（2）如图，∵，∴，∵分别平分，∴，∴，∴，∴；故答案为：；【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．三、解答题（共69分）17.（1）计算：；（2）计算：；（3）因式分解：；（4）解不等式组：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】（1）利用整数指数幂计算后再算加减即可；（2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式法则展开，然后去括号，最后合并同类项即可；（3）将原式变形后利用完全平方公式因式分解即可；（4）解各不等式后得到对应的解集，然后求得它们的公共部分即可．【详解】解：（1）原式，，；（2）原式，，；（3）原式，；（4）解第一个不等式得：，解第二个不等式得：，故原不等式组的解集为．【点睛】本题考查的知识点是整数指数幂、解一元一次不等式组，整式的混合运算，公式法因式分解，解题关键是熟练掌握相关运算法则．18.已知关于的方程，（1）若该方程的解满足，求的取值范围；（2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最小整数解，可得，即可求解．【小问1详解】解：，解得：，∵该方程的解满足，∴，解得：；【小问2详解】解：去括号得：，移项合并同类项得：，解得：．∵该方程的解是不等式的最小整数解，∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．19.一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解题目：①；②；③；④．（1）嘉嘉做错的或不完整的题目是(填序号)；（2）把你选出（1）题中题目的正确答案写在下面．【答案】（1）②④（2）见解析【解析】【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．（1）根据提取公因式和公式法因式分解进行判断即可；（2）根据取公因式和公式法因式分解对（1）中错误的因式分解即可．【小问1详解】解：①，正确；②，故②解题不完整；③，正确；④，故④错误；综上分析可知：嘉嘉做错的或不完整的题目是②④；【小问2详解】解：②；④．20.已知a，b，c是的三边．（1），，则c的取值范围是；若c为偶数，则的最大周长为．（2）若是等腰三角形，，周长为16，求另外两边长．【答案】（1）；18（2）另外两边长为6，6【解析】【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形周长的计算，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键．（1）根据三角形三边关系进行求解即可；（2）根据等腰三角形定义和三角形三边关系进行求解即可．【小问1详解】解：∵，，∴c的取值范围是，即；∵c为偶数，∴，6，8，∴的最大周长为：，故答案为：；18．【小问2详解】解：当为腰时，另外两边为4，，∵，∴此时三边不能构成三角形，不符合题意舍去；当为底时，另外两边为，此时等腰三角形的三边为：，6，6；综上分析可知：另外两边长为6，6．21.如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）．（1）求音乐喷泉池占地面积（用含a，b的式子表示）；（2）若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积．【答案】（1）平方米（2）156平方米【解析】【分析】此题考查了列代数式和求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、计算．（1）先分别表示出音乐喷泉池的长和宽，再运用长方形的面积公式和多项式乘多项式知识进行求解；（2）先运用非负数知识求得a，b的值，再代入计算．【小问1详解】解：由题意得，该音乐喷泉池的长为：，宽为

，

该音乐喷泉池的面积为：，

该音乐喷泉池的占地面积是

平方米；【小问2详解】解：由题意得，

且

，解得

，，

该广场音乐喷泉的面积为：，即该广场音乐喷泉的面积

是156平方米．22.如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点．（1）求证：；（2）若，，，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．（1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到；（2）利用等面积法计算的长．【小问1详解】证明：平分，，是的高，，，，，，，；【小问2详解】解：，，，，．即的长度为．23.在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：______．（2）若图1中a，b满足，，求的值；（3）如图2，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积．【答案】（1）（2）（3）5【解析】【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系．（2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可；（3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，可求得及，根据（1），求出的值，即可得出答案．【小问1详解】解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即，也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即．∴等量关系为；【小问2详解】解，，，∴；【小问3详解】解∶设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，∵，

，∴，，∵，∴，∴，∴阴影部分的面积为．24.为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元．（1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？（2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3500元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？（3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系．【答案】（1）绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为80元、60元（2）七种方案（3）【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减中的无关型问题，正确建立方程组和不等式组是解题关键．（1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；（2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组即可得；（3）设购买总费用为元，则，再根据（2）中的所有购买方案费用相同可得含的项的系数等于0，由此即可得．【小问1详解】解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，由题意得：，解得，答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．【小问2详解】解：设购入个绿