期末复习专项三 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练 复习课件

专项三利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练三角形内角和定理与三角形外角的性质是解决角的有关计算及推理论证问题时常使用的理论依据.利用三角形内角和与外角的性质解决不规则图形的角度问题时，可通过添加辅助线将不规则图形划分为几个三角形的拼接.1.如图，将△AMN沿MN翻折得到△DMN，点A与点D是对应点，

若∠A=29°，∠BMD=90°，则∠DNC=（

）A．32°B．35°C．38°D．40°类型一

利用三角形的外角和与内角和求角度A2.分类讨论思想

定义：若一个三角形的两个内角α与β，满足α=2β，则这样的三角形称为“倍角三角形”，其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数为_____________________．36°

或72°

或96°3.如图，在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数.

４.如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．

5.如图，已知∠B=60°，∠C=20°，∠BDC=3∠A，求∠A的度数．解：如图，延长CD交AB于点E．∵∠BED=∠A+∠C，∴∠BDC=∠B+∠BEC=∠B+∠A+∠C，即3∠A=60°+∠A+20°，∴∠A=40°．6.推理能力

如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=α（α＜60°），BD平分∠ABC交AC于点D，E为射线AC上一动点

，过

点E作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．（1）若α=50°，当点E在AC的延长线上时，求∠BGE的度数；（2）当点E在线段AC上，且E与D不重合时，直接写出∠BGE的度数（用含α式子表示）．

7.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A，D，C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交BD于点E．当点P在线段AC上时，证明：∠PDE=∠PED.类型二

利用三角形内角和与外角和进行简单的证明证明：∵∠C=90°，∴∠PDE=180°-90°-∠CBD=90°-∠CBD.∵PQ⊥AB，∴∠EQB=90°.∴∠BEQ=180°-90°-∠EBQ=90°-∠EBQ.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠EBQ，∴∠PDE=∠BEQ.∵∠PED=∠BEQ，∴∠PDE=∠PED.

9.如图，在△ABC中，点D是边AC上的一点，连接BD，且∠BDC=65°，∠A=40°．（1）求∠ABD的度数；（2）若BD平分∠ABC，求证：AC⊥BC．解：（1）∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=65°，∠A=40°，∴∠ABD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°；（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD=25°，∴∠ABC=2∠ABD=50°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-50°=90°，∴AC⊥BC．10.类比思想

将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=_______°；∠ABP+∠ACP=_____°；（2）类比探索：探究∠ABP，∠ACP，∠A的数量关系，并说明理由；（3）变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，探究∠ABP，∠ACP，∠A的数量关系，并说明理由．9040（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A．理由：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A；（3）