小学数学第六章　作业15　余弦定理

作业15余弦定理分值：100分单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A等于A.45° B.60° C.120° D.135°2.在△ABC中，b=ccosA，则△ABC一定为A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.(多选)在△ABC中，已知A=30°，且3a=3b=12，则c的值为A.2 B.4 C.6 D.84.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cosB等于A.14 B.34 C.245.若△ABC的三条边长分别为5，7，8，则△ABC的最大角与最小角之和为A.7π12 B.2π3 C.3π6.(多选)△ABC为钝角三角形，a=2，b=3，则边c的长度可以是A.2 B.3 C.10 D.47.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A.518 B.34 C.328在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则A=，AC边上的高为.9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2-5x+2=0的两个根，C=60°，则c=.10.(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2+cosA=0(1)求A的大小；(5分)(2)若a=23，b=2，求c的值.(5分)11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，若m=sinB+3cosB，则实数m的取值范围为A.(3，2] B.3C.[3，2] D.312.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是A.若a2+b2<c2，则C>πB.若ab>c2，则C≥πC.若a3+b3=c3，则C<πD.若a+b=2c，则C>π13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=B，b+acosC=c=1，则b=.14.(12分)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A=sinπ3+B·sinπ3(1)求角A的值；(5分)(2)若AB·AC=12，a=27，且b<c，求b，c的值.(7分)15.(15分)在△ABC中，BC=4，AC=6，cosC=916(1)求证：B=2A；(8分)(2)若AD=λAC，BD=14，求实数λ的值.(7分)

答案精析1.A2.C3.BD4.B5.B6.AD7.D8.π333210.解(1)∵cosA=2cos2A2-1∴2cos2A2+cos=2cosA+1=0，∴cosA=-12又0°<A<180°，∴A=120°.(2)由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，又a=23，b=2，cosA=-12∴(23)2=22+c2-2×2×c×-1化简得c2+2c-8=0，解得c=2或c=-4(舍去).11.C[由余弦定理的推论得cosB=a2+=(a-c)2当且仅当a=c时取等号，∵0<B<π，∴0<B≤π3由已知得m=sinB+3cosB=2sinB+∵π3<B+π3≤∴3≤m≤2，即实数m的取值范围为[3，2].]12.AC[由a2+b2<c2，可以得出cosC=a2+∴C>π2，故A由ab>c2，得cosC=a2+b2-得0<C<π3，故B假设C≥π2则c>a，c>b，cosC=a2+b∴c2≥a2+b2，即c3≥ca2+cb2>a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，∴C<π2，故C取a=b=c=2，满足a+b=2c，此时C=π3，故D错误.13.1+解析∵A=B，∴a=b.又b+acosC=c=1，由余弦定理的推论可得b+a·a2+b2即b+b·b2+∴4b2-2b-1=0，又b>0，解得b=1+514.解(1)因为sin2A=sinπ3+B·sinπ=34cos2B-14sin2B+sin2B=所以sinA=32或-3又A为锐角，所以A=π3(2)由AB·AC=12，可得cbcosA=12， ①由(1)知A=π3所以cb=24， ②由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，a=27及①，得c2+b2=52， ③由②③得(c+b)2=100，所以c+b=10，所以c，b是一元二次方程x2-10x+24=0的两个根，由b<c，解得b=4，c=6.15.(1)证明在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=36+16-27=25，所以AB=5，又cosB=AB2+BCcosA=AB2+AC所以cos2A=2cos2A-1=2×342-1=所以cosB=cos2A，由题意知0<A<B<π，所以0<A<π2，0<2A<π，0<B<π所以B=2A.(2)解因为AD=λAC，BD=14<4，所以点D在线段AC上，即0<λ<1.由(1)知cosA=34，